概率論與數理統計及其MATLAB實現（微課版）

周永衛 數學學院教授，副院長，河南省高等學校教學名師，河南省優秀教師，河南省文明教師，河南省高等學校青年骨乾教師，河南省教學標兵，河南省高校優秀基層教學組織—高等數學教研室負責人，河南省省級精品在線開放課程、省級線上一流課程、省級課程思政樣板課程《概率論與數理統計》課程主持人，河南省線上線下混合式一流課程、省級課程思政樣板課程《概率論》課程主持人，主持完成省級教改重點項目1項，長期從事專業基礎課《概率論》和公共基礎課《概率論與數理統計》課程的教學和研究工作。

目　錄

第 1章　概率論的基本概念　1

1.1　隨機事件和樣本空間　1

1.1.1　隨機試驗　1

1.1.2　樣本空間與隨機事件　2

1.1.3　事件之間的關系　2

1.1.4　事件之間的運算性質　4

習題1.1　5

1.2　概率、古典概型、幾何概型　6

1.2.1　概率的統計定義　6

1.2.2　古典概型　7

1.2.3　幾何概型　12

1.2.4　概率空間　14

1.2.5　概率的公理化定義　14

習題1.2　14

1.3　概率的性質　15

1.3.1　概率的加法定理　15

1.3.2　條件概率　18

1.3.3　乘法定理　19

習題1.3　20

1.4　全概率公式與貝葉斯公式　21

1.4.1　全概率公式　21

1.4.2　貝葉斯公式　23

習題1.4　25

1.5　獨立性　25

1.5.1　事件的獨立性　25

1.5.2　伯努利（Bernoulli）概型　28

習題1.5　30

1.6　用MATLAB計算隨機事件的概率　31

1.6.1　計算組合數、排列數　31

1.6.2　計算古典概型　31

1.6.3　計算幾何概型　31

習題1.6　32

小結　32

第 1章　考研真題　33

第 2章　隨機變量及其分佈　35

2.1　隨機變量　35

2.1.1　隨機變量的定義　35

2.1.2　隨機變量的分類　36

習題2.1　36

2.2　離散型隨機變量及其分佈　36

2.2.1　離散型隨機變量的概率分佈　36

2.2.2　常用的離散型隨機變量　37

習題2.2　43

2.3　隨機變量的分佈函數　44

2.3.1　分佈函數的定義　44

2.3.2　分佈函數的性質　45

2.3.3　離散型隨機變量的分佈函數　46

習題2.3　47

2.4　連續型隨機變量的概率密度函數　48

2.4.1　概率密度函數的定義　48

2.4.2　概率密度函數的性質　49

2.4.3　常見的連續型隨機變量　51

習題2.4　56

2.5　隨機變量函數的分佈　58

2.5.1　離散型隨機變量函數的分佈　58

2.5.2　連續型隨機變量函數的分佈　60

習題2.5　62

2.6　隨機變量分佈的MATLAB實現　63

2.6.1　常見分佈隨機數的產生　63

2.6.2　計算常見分佈的概率密度函數值　64

2.6.3　常見分佈的概率密度函數圖像繪制　64

2.6.4　計算常見分佈的累積分佈函數值　65

2.6.5　計算常見分佈的逆累積分佈函數值　66

習題2.6　67

小結　67

第 2章考研真題　68

第3章　多維隨機變量及其分佈　70

3.1　二維隨機變量及其分佈　70

3.1.1　二維隨機變量的概念　70

3.1.2　二維隨機變量的聯合分佈函數　71

3.1.3　二維離散型隨機變量　73

3.1.4　二維連續型隨機變量　75

3.1.5　常見的二維連續型隨機變量　78

習題3.1　79

3.2　邊緣分佈　80

3.2.1　邊緣分佈函數　80

3.2.2　二維離散型隨機變量的邊緣概率分佈律　81

3.2.3　二維連續型隨機變量的邊緣概率密度函數　83

習題3.2　84

3.3　條件分佈　85

3.3.1　二維離散型隨機變量的條件分佈　85

3.3.2　二維連續型隨機變量的條件分佈　88

習題3.3　90

3.4　隨機變量的獨立性　91

3.4.1　隨機變量獨立性的定義　91

3.4.2　離散型隨機變量獨立的充要條件　92

3.4.3　連續型隨機變量獨立的充要條件　93

習題3.4　95

3.5　二維隨機變量函數的分佈　96

3.5.1　二維離散型隨機變量函數的分佈　96

3.5.2　二維連續型隨機變量函數的分佈　98

習題3.5　105

3.6　多維隨機變量及其分佈的MATLAB實現　105

3.6.1　二維均勻分佈　105

3.6.2　二維正態分佈　105

3.6.3　邊緣分佈　106

習題3.6　106

小結　107

第3章考研真題　109

第4章　隨機變量的數字特徵　111

4.1　數學期望　111

4.1.1　離散型隨機變量的數學期望　112

4.1.2　常用離散型分佈的數學期望　113

4.1.3　連續型隨機變量的數學期望　114

4.1.4　常用連續型分佈的數學期望　115

4.1.5　二維隨機變量的數學期望　116

4.1.6　隨機變量函數的數學期望　118

4.1.7　數學期望的性質　120

習題4.1　122

4.2　方差　123

4.2.1　方差的定義　123

4.2.2　方差的性質　126

4.2.3　常用分佈的方差　127

習題4.2　130

4.3　協方差與相關系數　131

4.3.1　協方差　131

4.3.2　相關系數　133

習題4.3　136

4.4　矩、分位數與協方差矩陣　138

4.4.1　原點矩與中心矩　138

4.4.2　中位數和p分位數　139

4.4.3　協方差矩陣　140

習題4.4　142

4.5　隨機變量的數字特徵的MATLAB實現　143

4.5.1　離散型隨機變量的數學期望與方差　143

4.5.2　連續型隨機變量的數學期望與方差　144

4.5.3　常見分佈的數學期望與方差　144

4.5.4　計算協方差與相關系數　145

習題4.5　145

小結　146

第4章考研真題　148

第5章　大數定律與中心極限定理　152

5.1　大數定律　152

5.1.1　切比雪夫不等式　152

5.1.2　大數定律簡介　154

習題5.1　156

5.2　中心極限定理　156

習題5.2　161

5.3　大數定律與中心極限定理的MATLAB實現　162

5.3.1　大數定律　162

5.3.2　中心極限定理　162

習題5.3　162

小結　163

第5章考研真題　163

第6章　數理統計的基本概念　165

6.1　隨機樣本　165

6.1.1　總體與樣本　165

6.1.2　直方圖　166

6.1.3　統計量　167

習題6.1　168

6.2　抽樣分佈　169

6.2.1　 分佈　169

6.2.2　t分佈　170

6.2.3　F分佈　171

習題6.2　172

6.3　正態總體統計量的分佈　172

6.3.1　單個正態總體統計量的分佈　172

6.3.2　兩個正態總體統計量的分佈　175

習題6.3　177

6.4　數理統計基本概念的MATLAB實現　178

6.4.1　樣本常見統計量觀測值　178

6.4.2　頻數分佈表和直方圖　179

6.4.3　經驗累積分佈函數圖形　179

6.4.4　三大抽樣分佈的MATLAB模擬　179

習題6.4　179

小結　180

第6章考研真題　181

第7章　參數估計　182

7.1　點估計　182

7.1.1　矩估計法　182

7.1.2　最（極）大似然估計法　185

習題7.1　190

7.2　估計量的評價標準　190

7.2.1　無偏性　191

7.2.2　有效性　192

7.2.3　相合性（一致性）　192

習題7.2　193

7.3　區間估計　194

習題7.3　196

7.4　正態總體參數的區間估計　197

7.4.1　單個正態總體的情形　197

7.4.2　兩個正態總體的情形　199

習題7.4　201

7.5　單側置信區間　202

習題7.5　203

7.6　參數估計的MATLAB實現　204

7.6.1　參數的矩估計　204

7.6.2　常見分佈參數的最大似然估計　205

習題7.6　207

小結　207

第7章考研真題　208

第8章　假設檢驗　211

8.1　概述　211

8.1.1　假設檢驗問題　211

8.1.2　假設檢驗的基本思想和步驟　212

8.1.3　假設檢驗中的兩類錯誤　215

習題8.1　216

8.2　正態總體均值的假設檢驗　216

8.2.1　單個正態總體均值的假設檢驗　216

8.2.2　假設檢驗與置信區間的關系　218

8.2.3　兩個正態總體均值差的假設檢驗　220

習題8.2　223

8.3　正態總體方差的假設檢驗　223

8.3.1　單個正態總體方差的假設檢驗[ 檢驗( -test)]　224

8.3.2　兩個正態總體方差的假設檢驗[F檢驗（F-test）]　225

習題8.3　227

8.4　卡方擬合優度檢驗　227

習題8.4　231

8.5　假設檢驗的p值　232

習題8.5　234

8.6　假設檢驗的MATLAB實現　234

8.6.1　 已知，單個正態總體的均值μ的假設檢驗（Z檢驗）　234

8.6.2　 未知，單個正態總體的均值μ的假設檢驗（T檢驗）　235

8.6.3　兩個正態總體均值差的檢驗（T檢驗）　235

8.6.4　方差的假設檢驗　236

8.6.5　雙正態總體方差比的F檢驗　236

8.6.6　卡方擬合優度檢驗　236

習題8.6　237

小結　237

第8章考研真題　238

第9章　方差分析　240

9.1　單因素試驗的方差分析　240

9.1.1　數學模型　240

9.1.2　平方和分解　242

9.1.3　假設檢驗問題　243

習題9.1　246

9.2　雙因素試驗的方差分析　247

9.2.1　雙因素等重復試驗的方差分析　248

9.2.2　雙因素無重復試驗的方差分析　252

習題9.2　254

9.3　正交試驗設計及其方差分析　255

9.3.1　正交試驗設計的基本方法　255

9.3.2　試驗結果的直觀分析　258

9.3.3　方差分析　260

習題9.3　261

9.4　方差分析的MATLAB實現　262

9.4.1　單因素方差分析　262

9.4.2　雙因素方差分析　263

習題9.4　264

小結　265

第 10章　回歸分析　266

10.1　回歸分析概述　266

習題10.1　267

10.2　參數估計　268

10.2.1　一元線性回歸　268

10.2.2　多元線性回歸　270

習題10.2　272

10.3　回歸模型參數的假設檢驗　273

10.3.1　方差分析法（F檢驗法）　274

10.3.2　相關系數法（T檢驗法）　275

習題10.3　276

10.4　預測與控制　277

10.4.1　預測　277

10.4.2　控制　278

習題10.4　279

10.5　回歸分析的MATLAB實現　280

10.5.1　一元線性回歸　280

10.5.2　多元線性回歸　281

習題10.5　282

小結　283