數值分析

目錄

第1章緒論1

1.1引言1

1.2誤差的種類和來源2

1.3絕對誤差和相對誤差3

1.3.1絕對誤差和絕對誤差限3

1.3.2相對誤差和相對誤差限3

1.4有效數字及其與誤差的關系4

1.4.1有效數字4

1.4.2有效數字與誤差的關系5

1.5電腦浮點數系6

1.6誤差的傳播與估計7

1.6.1誤差估計的一般公式7

1.6.2誤差在算術運算中的傳播8

1.7數值算法的穩定性10

1.8MATLAB簡介12

1.8.1MATLAB數據類型12

1.8.2矩陣及其運算14

1.8.3邏輯類型和關系運算22

1.8.4MATLAB程序設計24

1.8.5MATLAB繪圖函數26

習題129

第2章非線性方程與方程組的數值解法30

2.1基本概念30

2.2二分法31

2.3一般迭代法32

2.3.1簡單迭代法32

2.3.2迭代法的收斂性33

2.3.3迭代法的局部收斂性36

2.3.4迭代法的收斂階38

2.4牛頓法39

2.4.1牛頓法的構造方法39

2.4.2牛頓法的幾何意義41

2.5弦線法41

2.6史蒂芬森法43

2.7多點迭代法43

2.8解非線性方程組的牛頓法44

習題248

第3章解線性方程組的直接法50

3.1順序高斯消去法和高斯約當消去法52

3.1.1順序高斯消去法52

3.1.2高斯約當消去法54

3.2高斯主元素消去法55

3.2.1高斯列主元消去法55

3.2.2高斯完全主元消去法57

3.3三角分解法57

3.3.1杜利特爾分解法57

3.3.2克洛特分解法61

3.3.3選主元的三角分解法62

3.3.4解三對角形方程組的追趕法66

3.4解對稱正定方程組的平方根法68

3.4.1對稱正定矩陣的喬列斯基分解與平方根法68

3.4.2改進的平方根算法69

3.5行列式和矩陣求逆71

3.5.1行列式的計算71

3.5.2逆矩陣的計算71

3.6向量和矩陣的範數72

3.6.1向量範數73

3.6.2矩陣範數74

3.7誤差分析76

習題378

第4章解線性方程組的迭代法80

4.1雅可比迭代法與賽德爾迭代法81

4.1.1雅可比迭代法81

4.1.2高斯賽德爾迭代法83

4.2迭代法的收斂性85

4.3超鬆弛迭代法91

4.3.1超鬆弛迭代格式91

4.3.2超鬆弛法的收斂性92

習題494

第5章插值與擬合96

5.1插值問題的基本概念97

5.1.1插值問題的定義97

5.1.2插值多項式存在的唯一性97

5.1.3插值餘項98

5.2拉格朗日插值多項式99

5.2.1拉格朗日插值基函數99

5.2.2拉格朗日插值多項式100

5.3差商與牛頓插值多項式102

5.3.1差商的定義與性質102

5.3.2牛頓插值公式103

5.4差分與等矩節點插值公式104

5.4.1差分及其性質104

5.4.2等距節點下的牛頓插值公式105

5.5分段低次插值107

5.6埃爾米特插值108

5.7三次樣條插值110

5.7.1三次樣條函數110

5.7.2彎矩方程112

5.7.3三次樣條插值收斂性115

5.8最小二乘法115

5.8.1偏差的定義115

5.8.2最小二乘解的求法116

習題5120

第6章數值積分與數值微分122

6.1求積公式122

6.1.1機械求積公式122

6.1.2插值型求積公式123

6.1.3求積公式的代數精度124

6.1.4求積公式的收斂性和穩定性125

6.2牛頓柯特斯求積公式126

6.2.1牛頓柯特斯求積公式的定義126

6.2.2幾個低階的求積公式127

6.2.3求積公式的截斷誤差129

6.3復化求積公式及其誤差130

6.3.1復化求積公式131

6.3.2復化求積公式的餘項132

6.3.3截斷誤差事後估計與步長的自動選擇133

6.3.4復化梯形公式的遞推算式135

6.4龍貝格方法136

6.4.1復化梯形公式精度的提高136

6.4.2復化辛普森公式精度的提高137

6.4.3復化柯特斯公式精度的提高137

6.5高斯型求積公式138

6.5.1高斯型求積公式的定義138

6.5.2高斯型求積公式的構造139

6.5.3幾種常用的高斯型求積公式141

6.6數值微分142

6.6.1差商法142

6.6.2插值型求導公式143

6.7多重積分的數值計算方法144

習題6147

第7章微分方程數值解148

7.1簡單的單步法及基本概念148

7.1.1歐拉法、後退歐拉法與梯形法148

7.1.2單步法的局部截斷誤差150

7.1.3改進歐拉法152

7.2龍格庫塔法153

7.2.1顯式龍格庫塔法的一般形式153

7.2.2二、三級顯式龍格庫塔法154

7.2.3四階龍格庫塔法及步長的自動選擇157

7.3單步法的收斂性與絕對穩定性159

7.3.1單步法的收斂性159

7.3.2絕對穩定性160

7.4線性多步法162

7.4.1線性多步法的一般公式162

7.4.2阿達姆斯顯式與隱式方法164

7.4.3阿達姆斯預測校正方法166

7.5一階方程組與高階方程數值方法167

7.6解橢圓方程的差分法168

7.7橢圓方程的有限元法169

7.7.1矩形剖分上的有限元法169

7.7.2三角剖分上的有限元法172

習題7173

第8章數值實驗174

實驗1非線性方程與方程組的數值解法174

實驗2解線性方程組直接法176

實驗3解線性方程組的迭代法178

實驗4插值與擬合180

實驗5數值積分與數值微分182

實驗6微分方程數值解法184