計算方法

目 錄

第1章 引論 1
1.1 誤差來源 2
1.2 誤差分析 4
1.3 有效數字 7
1.4 數值穩定性分析 13
1.4.1 函數運算誤差 13
1.4.2 算術運算誤差 14
1.4.3 數值穩定性的概念 15
1.4.4 減小運算誤差 17
1.5 秦九韶算法 21
擴展閱讀1：中國現代數學的追趕與超越 22
擴展閱讀2：測量誤差帶來的事故和災難 24
思考題 24
第2章 非線性方程的數值解法 27
2.1 初始近似值的搜索 27
2.1.1 方程的根 27
2.1.2 逐步搜索法 28
2.1.3 區間二分法 29
2.2 迭代法 31
2.2.1 迭代原理 31
2.2.2 迭代的收斂性 32
2.2.3 迭代過程的收斂速度 35
2.3 牛頓迭代法 36
2.3.1 牛頓迭代法迭代公式的建立 36
2.3.2 牛頓迭代法的收斂情況 38
2.4 工程案例分析 39
擴展閱讀：牛頓迭代法 40
思考題 40

第3章 線性方程組的數值解法 41
3.1 高斯消去法 42
3.1.1 順序高斯消去法 42
3.1.2 選主元高斯消去法 49
3.1.3 高斯-若爾當消去法 51
3.2 矩陣三角分解法 53
3.2.1 高斯消去法的矩陣描述 53
3.2.2 矩陣的直接三角分解 55
3.2.3 用矩陣三角分解法解線性方程組 56
3.2.4 追趕法 61
3.3 迭代法 63
3.4 工程案例分析 68
擴展閱讀：數學家高斯 76
思考題 77
第4章 插值法 81
4.1 代數插值 81
4.2 拉格朗日插值 83
4.2.1 拉格朗日插值多項式 83
4.2.2 線性插值與拋物線插值 84
4.2.3 拉格朗日插值餘項與誤差 86
4.3 牛頓插值 89
4.3.1 差商及其性質 89
4.3.2 牛頓插值公式 91
4.4 工程案例分析 93
思考題 95
第5章 曲線擬合的最小二乘法 97
5.1 最小二乘法 97
5.1.1 最小二乘原理 97
5.1.2 直線擬合 100
5.1.3 超定方程組的最小二乘解 101
5.1.4 可線性化模型的最小二乘擬合 102
5.1.5 多變量的數據擬合 104
5.1.6 多項式擬合 106
5.2 工程案例分析 108
擴展閱讀：最小二乘法 111
思考題 112
第6章 數值積分與數值微分 114
6.1 數值積分 115
6.1.1 數值積分的基本思想 115
6.1.2 代數精度 116
6.1.3 插值求積公式 117
6.1.4 構造插值求積公式的步驟 119
6.2 牛頓-柯特斯公式 119
6.2.1 公式的導出 119
6.2.2 牛頓-柯特斯公式的代數精度 123
6.2.3 梯形公式和辛普森公式的插值餘項 124
6.2.4 牛頓-柯特斯公式的穩定性 126
6.3 復化求積法 127
6.3.1 復化梯形公式 127
6.3.2 復化辛普森公式 128
6.4 變步長梯形求積法和龍貝格算法 130
6.4.1 變步長梯形求積法 130
6.4.2 龍貝格算法 133
6.5 數值微分 135
6.5.1 機械求導法 136
6.5.2 插值求導公式 137
6.6 工程案例分析 140
擴展閱讀1：龍貝格算法 142
擴展閱讀2：中國古代的微積分計算 142
思考題 143
第7章 常微分方程初值問題的數值解法 145
7.1 歐拉法 146
7.1.1 歐拉公式 146
7.1.2 兩步歐拉公式 150
7.1.3 梯形法 151
7.1.4 改進歐拉法 152
7.2 龍格-庫塔法 154
7.2.1 泰勒級數展開法 154
7.2.2 龍格-庫塔法的基本思路 155
7.2.3 二階龍格-庫塔法和三階龍格-庫塔法 156
7.2.4 經典龍格-庫塔法 157
7.2.5 隱式龍格-庫塔法 160
7.3 工程案例分析 161
擴展閱讀：秦九韶《數書九章》中的計算方法 162
思考題 163
附錄A 實驗 165
實驗一 秦九韶算法 165
實驗二 區間二分法 166
實驗三 迭代法 167
實驗四 牛頓迭代法 169
實驗五 列選主元法 170
實驗六 矩陣三角分解法 172
實驗七 線性方程組的迭代法 174
實驗八 拉格朗日插值 177
實驗九 牛頓插值 178
實驗十 龍貝格算法 180
實驗十一 歐拉法 181
實驗十二 四階龍格-庫塔法 182
參考文獻 184