數學女孩─伽羅瓦理論

<簡介>

2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩！　
日本高中生的最佳課外讀物
青春x數學x愛情
激發學習數學的幸福滋味！

萬眾矚目的「數學女孩」第四彈，回來了！
無論是數學或愛情，才女米爾迦與「我」都更加靠近！
伽羅瓦理論用群論研究方程式，
求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件！
解決前人的困擾：高次方程式的代數可解性，
開闢抽象代數的研究領域！

數學的奧妙和女孩的心一樣，「我」該如何跳出框架、看清全貌呢？
伽羅瓦告訴芸芸眾生，如何踏入抽象代數的世界，解決高次方程式的求解問題；
數學女孩告訴高中生，你也能了解伽羅瓦理論，深入數學的奧妙之境！

伽羅瓦運用高斯的分圓多項式、拉格朗日對置換根的研究、拉格朗日預解式等，
發展出伽羅瓦理論，其中牽涉──
群與體的定義、線性空間與擴張次數、
商群與群指數、體與子體、群與子群、群與體的對應、
體的擴張與群的縮小、正規擴張與正規子群、陪集與商群、共軛……等數學概念！
甚至解決了角三等分的尺規作圖問題！

但是！這麼複雜、牽涉廣泛的理論，
2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩，
卻能將它歸結為「畫鬼腳」遊戲？！
在「數學女孩」的世界，
數學、學習與戀愛，
都是一場有趣、鬥智的精彩遊戲！
扣人情節＋生動人物＋深入解說＋全面掌握＝日本最受歡迎、高中生必讀，數學小說！

㊣什麼是「體」？
舉例來說，一個有理數的集合中，若所有數進行四則運算得到的值，仍屬於有理數，此集合為有理數的「體」。要判定多項式能否因式分解，必須先釐清，係數屬於哪個體。若在體添加元素，形成擴張體，便能讓無解的方程式變成有解！
但是！這與角三等分的尺規作圖問題有什麼關係呢？

㊣什麼是「群」？
群是滿足「群公理」的「數的集合」；群公理定義一個「二元運算」，若一個集合內的數進行此運算，會具有封閉性、結合律、單位元素和反元素，即為群。
但是！此「二元運算」怎麼定義？與抽象代數學有何關係？而什麼是「群的置換」呢？「置換」是什麼意思？

㊣什麼是「伽羅瓦群」？
伽羅瓦群就是伽羅瓦定義的根的「置換群」。他利用在係數體範圍內的多項式的根，製作有理式；若一個置換群內的所有置換，作用於有理式所得的值都維持不變，這個置換群就是此方程式的伽羅瓦群。
但是！大小不同的伽羅瓦群有差別嗎？為什麼伽羅瓦理論可說是承先啟後呢？
擴張係數體的範圍，能縮小伽羅瓦群嗎？這要如何解決高次方程式的代數可解性呢？

這麼多數學難題，該如何解答？浩瀚的數學宇宙如何掌握？
──天才少女米爾迦的暑期數學特訓班，開課啦！

內容介紹：
未滿二十一歲即因決鬥而死的伽羅瓦，燃燒他短暫的一生開創數學新領域，深深影響後世的數學家，其理論充實、深廣，甚至複雜，但《數學女孩：伽羅瓦理論》的作者結城浩卻用高中生的視角，在本書主角「我」與諸位數學女孩互相切磋、教導、戀愛的過程中，以親切有趣的舉例，詳細說明各個概念，再以宏觀角度帶領讀者掌握伽羅瓦理論的全貌，使各個系統、概念融會貫通。
　　本書介紹伽羅瓦的「第一論文」及其相關理論。伽羅瓦用群論研究方程式，彰顯群論與體論的對應關係，欲求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件。他不以人們熟悉的方式，用「係數」去探求方程式的可解性，反而以「根的置換群」去思考五次以上方程式的可解性。其中牽涉到群與體的定義、線性空間與擴張次數、商群與群指數、體與子體、群與子群、群與體的對應、體的擴張與群的縮小、正規擴張與正規子群、陪集與商群、共軛……等數學概念，而這些豐富的內容盡在本書！

<目錄>

給讀者
序章

第1章　你喜愛的畫鬼腳
1.1　交織的畫鬼腳
1.1.1　兩端交換
1.2　溢出的畫鬼腳
1.2.1　計算數量
1.2.2　由梨的疑問
1.3　理所當然的畫鬼腳
1.3.1　冰沙
1.3.2　無可替代之物
1.3.3　可以做所有的模式嗎
1.4　你喜愛的畫鬼腳
1.4.1　3條直線
1.4.2　畫鬼腳的2次方
1.4.3　畫鬼腳的3次方
1.4.4　繪圖
1.4.5　追求更進一步的謎題

第2章　睡眠之森的２次方程式
2.1　平方根
2.1.1　由梨
2.1.2　負號×負號
2.1.3　複數平面
2.2　公式解
2.2.1　2次方程式
2.2.2　方程式與多項式
2.2.3　推導2次方程式的公式解
2.2.4　傳達心情
2.3　根與係數的關係
2.3.1　蒂蒂
2.3.2　根與係數的關係
2.3.3　腦袋的整理
2.4　對稱多項式與體的觀點
2.4.1　米爾迦
2.4.2　再訪：根與係數的關係
2.4.3　再訪：公式解
2.4.4　歸途
第3章　探索形式
3.1　正三角形的形式
3.1.1　醫院
3.1.2　再次發燒
3.1.3　夢的結局
3.2　對稱群的形式
3.2.1　圖書室
3.2.2　群的公理
3.2.3　公理與定義
3.3　循環群的形式
3.3.1　往『學樂』前進
3.3.2　結構
3.3.3　子群
3.3.4　基數
3.3.5　循環群
3.3.6　阿貝爾群
第4章　與你共軛
4.1　圖書室
4.1.1　蒂蒂
4.1.2　因式分解
4.1.3　數的範圍
4.1.4　多項式的除法
4.1.5　1的12次方根
4.1.6　正ｎ邊形
4.1.7　三角函數
4.1.8　出路
4.2　循環群
4.2.1　米爾迦
4.2.2　12個複數
4.2.3　製作表格
4.2.4　共有頂點的正多邊形
4.2.5　1的原始12次方根
4.2.6　分圓多項式
4.2.7　分圓方程式
4.2.8　與你共軛
4.2.9　循環群與生成元
4.3　模擬考
4.3.1　考試會場
第5章　角的３等分
5.1　圖的世界
5.1.1　由梨
5.1.2　角的三等分問題
5.1.3　對於角的三等分問題的誤解
5.1.4　尺與圓規
5.1.5　可能作圖的意義
5.2　數的世界
5.2.1　具體例子
5.2.2　透過作圖加減乘除
5.2.3　透過作圖開根號
5.3　三角函數的世界
5.3.1　雙倉圖書館
5.3.2　麗莎
5.3.3　離別之際
5.4　方程式的世界
5.4.1　看穿結構
5.4.2　用有理數練熟
5.4.3　一步的重覆
5.4.4　能進行到下一個步驟嗎？
5.4.5　發現了嗎？
5.4.6　預測與定理
5.4.7　出路呢？
第6章　支撐天空的東西
6.1　次元
6.1.1　廟會
6.1.2　4次元的世界
6.1.3　章魚燒
6.1.4　支撐的東西
6.2　線性空間
6.2.1　圖書室
6.2.2　座標平面
6.2.3　線性空間
6.2.4　ℝ上的線性空間ℂ
6.2.5　ℚ範圍內的線性空間ℚ（√2）
6.2.6　擴展的大小
6.3　線性獨立
6.3.1　線性獨立
6.3.2　次元的不變性
6.3.3　擴張次數
第7章　拉格朗日預解式的秘密
7.1　3次方程式的解的公式
7.1.1　蒂蒂
7.1.2　紅色的卡片『契爾恩豪森轉換』
7.1.3　橙色的卡片『根與係數的關係』
7.1.4　黃色的卡片『拉格朗日預解式』
7.1.5　綠色的卡片『3次方的和』
7.1.6　藍色的卡片『3次方的積』
7.1.7　靛色的卡片『從係數到解』
7.1.8　紫色的卡片『3次方程式的公式解』
7.1.9　描繪旅行的地圖
7.2　拉格朗日預解式
7.2.1　米爾迦
7.2.2　拉格朗日預解式的性質
7.2.3　能夠適用嗎
7.3　2次方程式的公式解
7.3.1　2次方程式的拉格朗日預解式
7.3.2　判別式
7.4　5次方程式的公式解
7.4.1　5次方程式是？
7.4.2　“5”這個數的意義
第8章　建造塔
8.1　音樂
8.1.1　茶水間
8.1.2　相遇
8.2　講課
8.2.1　圖書室
8.2.2　擴張次數
8.2.3　擴張體與部分體
8.2.4　ℚ（√2）/ℚ
8.2.5　小測驗
8.2.6　ℚ（√2, √3）/ℚ
8.2.7　擴張次數的積
8.2.8　ℚ（√2+√3）/ℚ
8.2.9　最小多項式
8.2.10　發現？
8.3　信
8.3.1　歸途
8.3.2　家
8.3.3　信
8.3.4　可能作圖數
8.3.5　晚餐
8.3.6　朝向方程式的可解性
8.3.7　最小分裂體
8.3.8　正規擴張
8.3.9　以真貨為對象
第9章　心情的形式
9.1　對稱群S3的形式
9.1.1　雙倉圖書館
9.1.2　類別
9.1.3　陪集
9.1.4　漂亮的形式
9.1.5　製作群
9.2　書寫法的形式
9.2.1　氧
9.2.2　置換的書寫法
9.2.3　拉格朗日定理
9.2.4　正規子群的書寫法
9.3　部分的形式
9.3.1　獨自孤零零的3√2
9.3.2　探求結構
9.3.3　伽羅瓦的正規分解
9.3.4　進一步除C3
9.3.5　除法與同等看待
9.4　對稱群S4的形式
9.4.1　鈹
9.5　心情的形式
9.5.1　碘
9.5.2　熄燈時間
第10章　伽羅瓦理論
10.1　伽羅瓦節
10.1.1　簡略年表
10.1.2　第一論文
10.2　定義
10.2.1　定義（可約與既約）
10.2.2　定義（置換群）
10.2.3　兩個世界
10.3　引理
10.3.1　引理1（既約多項式的性質）
10.3.2　引理2（用根製作的V）
10.3.3　引理3（用Ｖ表示根）
10.3.4　引理4（Ｖ的共軛）
10.4　定理
10.4.1　定理1（『方程式的伽羅瓦群』的定義）
10.4.2　方程式x2-3x+2=0的伽羅瓦群
10.4.3　方程式ax2+bx+c=0的伽羅瓦群
10.4.4　伽羅瓦群的做法
10.4.5　方程式x3-2x=0的伽羅瓦群
10.4.6　定理2（『方程式的伽羅瓦群』的縮小）
10.4.7　伽羅瓦的錯誤
10.4.8　定理3（添加輔助方程式的所有的根）
10.4.9　縮小的重覆
10.4.10　定理4（縮小的伽羅瓦群的性質）
10.5　定理5（能夠以代數方式解方程式的充分必要條件）
10.5.1　伽羅瓦的問題
10.5.2　何謂『能夠以代數方式解方程式』
10.5.3　蒂蒂的提問
10.5.4　p次方根的添加
10.5.5　伽羅瓦的添加元
10.5.6　由梨的手忙腳亂
10.6　兩座塔
10.6.1　一般3次方程式
10.6.2　一般4次方程式
10.6.3　一般2次方程式
10.6.4　5次方程式不存在公式解
10.7　夏天的結束
10.7.1　伽羅瓦理論的基本定理
10.7.2　巡遊展示
10.7.3　夜晚的氧
10.7.4　無可替代之物
尾聲
後記
索引

內文試閱：
給讀者

本書出現各式各樣的數學問題，難度橫跨連小學生都懂，到連大學生都不會的程度。
除了用語言、圖形以及程式，來表現書中人物的思考脈絡，也會用算式來解說。
如果不明白算式的意義，請忽略算式的部分，先隨故事發展看下去。蒂蒂與由梨會陪伴你，一起向前。
擅長數學的讀者，除了故事，請務必搭配、跟隨算式的解說，閱讀本書。如此一來，你應該更能掌握故事的全貌。

<作者簡介>

作者簡介
結城 浩
1963年生。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩╱費馬最後定理》，2012《數學女孩╱哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩╱隨機演算法》（世茂出版）。
http://www.hyuki.com/

審訂者簡介
洪萬生
紐約城市大學（CUNY）科學史博士，國立台灣師範大學數學系學士、碩士。國立台灣師範大學數學系教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、台灣數學教育學會理事長（2007-2009）、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica（國際數學史雜誌）編輯委員、《HPM通訊》發行人、台灣數學（虛擬）博物館創始人之一。

譯者簡介
陳冠貴
專職日文譯者，台大日文系雙修中文系畢業，譯作橫跨手工藝、小說、生活、商管類等各領域。自我期許能優游於中日文之間，帶給讀者閱讀無礙的文字饗宴。
苦心孤譯http://detectivestella.blogspot.tw/