俗說矩陣——線性代數詳解（Python+MATLAB）

曹欣，本科畢業於西安電子科技大學探測與制導專業，後在西安電子科技大學獲得電路與系統專業博士學位，現任教於西北大學。近年來一直致力於機器學習、醫學圖像處理、光學分子影像分析等研究工作。主持國家自然科學基金青年基金、中國博士後科學基金面上項目、陜西省自然科學基礎研究計劃青年項目、陜西省教育廳專項基金等項目。目前專註於機器學習領域和影像處理的工作研究

 

 

 

 

目錄

 

 

 

 

 

 

 

第1章從初等數學到高等數學

 

習題1

 

第2章矩陣是什麽

 

2．1麵包機里的學問

 

2．2矩陣的基本運算

 

2．3是矩陣，也是映射

 

2．3．1映射的概念和實例

 

2．3．2矩陣的映射屬性

 

2．3．3線性映射

 

2．4編程實踐： MATLAB和矩陣

 

習題2

 

第3章線性方程組

 

3．1從二元一次方程組說起

 

3．1．1齊次線性方程組

 

3．1．2非齊次線性方程組

 

3．1．3線性方程組的矩陣表示

 

3．2高斯消元法和矩陣初等行變換

 

3．2．1方程組的整體等價變換與高斯消元法

 

3．2．2矩陣的初等行變換和階梯矩陣

 

3．3齊次方程組的求解

 

3．3．1通解的概念

 

3．3．2齊次方程組解的判斷

 

3．3．3非零解和基礎解系

 

3．3．4主變量和自由變量

 

3．3．5齊次方程組的求解步驟

 

3．4非齊次方程組的求解

 

3．4．1增廣矩陣

 

3．4．2非齊次方程組解的判斷

 

3．4．3具有無窮解方程組的通解

 

3．4．4非齊次方程組的求解步驟

 

3．5初識矩陣的秩

 

3．5．1秩的概念與求法

 

3．5．2矩陣秩的基本性質

 

3．5．3特殊矩陣的秩

 

3．6線性方程組理論的應用

 

3．6．1含有參數的線性方程組問題

 

3．6．2線性方程組和空間解析幾何

 

3．6．3使用線性方程組配平化學方程式

 

3．6．4使用線性方程組求解牛吃草問題

 

3．7編程實踐： MATLAB求解線性方程組

 

習題3

 

第4章矩陣乘法

 

4．1矩陣乘法： 線性映射的復合法則

 

4．1．1再從線性方程組說起

 

4．1．2矩陣乘法運算法則

 

4．1．3左乘和右乘

 

4．1．4矩陣乘法的條件

 

4．2矩陣乘法代數表示及性質

 

4．2．1矩陣乘法代數表示的推導

 

4．2．2矩陣乘法的基本性質

 

4．3特殊矩陣的乘法

 

4．3．1含有零矩陣的乘法

 

4．3．2含有對角陣和單位陣的乘法

 

4．3．3向量之間的乘法

 

4．3．4可交換矩陣的乘法

 

4．4矩陣乘法的拓展

 

4．4．1轉置矩陣的乘法

 

4．4．2矩陣乘方

 

4．4．3矩陣多項式

 

4．5矩陣乘法的應用： Kappa系數計算式的推導

 

4．5．1Kappa系數

 

4．5．2Kappa系數的矩陣表達公式

 

4．5．3Kappa系數計算舉例

 

4．6編程實踐： MATLAB實現矩陣乘法

 

習題4

 

第5章逆矩陣

 

5．1矩陣乘法和初等變換的紐帶： 初等矩陣

 

5．1．1初等變換

 

5．1．2初等矩陣

 

5．1．3矩陣的連續初等變換

 

5．2矩陣的“倒數”： 逆矩陣

 

5．2．1逆矩陣的概念

 

5．2．2逆矩陣的存在條件

 

5．2．3逆矩陣與逆映射

 

5．2．4逆矩陣的性質

 

5．3逆矩陣的求法

 

5．3．1初等行變換法求逆矩陣

 

5．3．2特殊矩陣的逆矩陣

 

5．4逆矩陣的拓展與延伸

 

5．4．1抽象矩陣的逆矩陣問題

 

5．4．2簡單矩陣方程的求解

 

5．5編程實踐： MATLAB求逆矩陣

 

習題5

 

第6章線性映射和線性變換

 

6．1再談矩陣的映射屬性

 

6．1．1復習與延伸： 映射及其分類

 

6．1．2矩陣的映射屬性

 

6．2平面上的線性變換

 

6．2．1復習： 平面向量基本定理

 

6．2．2平面線性變換

 

6．2．3單位正方形的變化和變換比例系數

 

6．3編程實踐： 平面圖形的變換和討論

 

習題6

 

第7章行列式

 

7．1行列式的基本運算和化簡

 

7．1．12階、3階行列式的運算

 

7．1．2三角行列式和初等變換化簡

 

7．1．3n階行列式的計算

 

7．2行列式的降階和展開

 

7．2．1行列式左上角元素降階

 

7．2．2行列式一般元素的降階

 

7．2．3行列式按行按列展開

 

7．2．4行列式展開公式的進一步討論

 

7．3行列式的綜合計算方法與技巧

 

7．4行列式在矩陣理論上的應用

 

7．4．1行列式和矩陣乘法

 

7．4．2行列式和矩陣的秩

 

7．4．3行列式和線性方程組

 

7．4．4行列式和逆矩陣

 

7．4．5零值行列式結論匯總

 

7．5編程實踐： MATLAB計算行列式

 

習題7

 

第8章分塊矩陣

 

8．1將大矩陣切成小矩陣

 

8．1．1矩陣分塊初體驗

 

8．1．2矩陣的幾種分塊方式

 

8．2分塊矩陣的運算

 

8．2．1分塊矩陣的轉置

 

8．2．2分塊矩陣的加減法和數乘

 

8．2．3分塊矩陣的乘法

 

8．2．4分塊矩陣的求逆

 

8．2．5分塊矩陣的行列式計算

 

8．3分塊初等變換

 

8．3．1分塊矩陣的初等變換

 

8．3．2分塊初等矩陣

 

8．4編程實踐： MATLAB實現矩陣的分塊與合並

 

習題8

 

第9章矩陣的秩

 

9．1矩陣的秩： 深度刻畫

 

9．1．1由線性映射刻畫矩陣的秩

 

9．1．2由行列式刻畫矩陣的秩

 

9．2矩陣秩的性質

 

9．3矩陣的秩性質應用

 

9．4編程實踐： MATLAB計算矩陣的秩

 

習題9

 

第10章伴隨矩陣

 

10．1伴隨矩陣及其構建

 

10．1．12階方陣的伴隨矩陣

 

10．1．2任意方陣伴隨矩陣的構建

 

10．1．3逆矩陣的另一種構建方式

 

10．1．4關於伴隨矩陣的術語說明

 

10．2伴隨矩陣十大公式

 

10．2．1伴隨矩陣公式推導

 

10．2．2伴隨矩陣十大公式匯總

 

10．3伴隨矩陣公式應用

 

10．4克拉默法則

 

10．5編程實踐： MATLAB計算伴隨矩陣

 

習題10

 

第11章矩陣、向量和空間

 

11．1多維空間向量基本定理

 

11．1．1平面向量基本定理的矩陣分析

 

11．1．2更高維度空間向量的基本定理

 

11．2線性無關和線性相關

 

11．2．1線性無關和線性相關的概念和意義

 

11．2．2線性無關和線性相關的拓展與應用

 

11．2．3線性無關和線性相關的性質總結

 

11．3向量組及其表示空間

 

11．3．1向量組的秩和極大線性無關組

 

11．3．2等價向量組

 

11．4單位正交基向量組

 

11．4．1復習與延伸： 數量積、正交與單位向量

 

11．4．2單位正交基向量組

 

11．4．3格拉姆施密特正交化

 

11．4．4正交矩陣

 

11．5空間的基變換和坐標變換

 

11．5．1基向量和坐標

 

11．5．2基變換和坐標變換

 

11．6編程實踐： 有關向量組的綜合任務

 

習題11

 

第12章特徵值和特徵向量

 

12．1特徵值和特徵向量的概念

 

12．1．1對角陣的特徵值和特徵向量

 

12．1．2一般方陣的特徵值和特徵向量

 

12．1．3特徵值和特徵向量的代數定義

 

12．2特徵值和特徵向量的計算

 

12．3特徵值和特徵向量的性質

 

12．3．1單根、重根特徵值的性質

 

12．3．2特徵值的和與積

 

12．3．3關聯矩陣的特徵值和特徵向量

 

12．3．4凱萊哈密爾頓定理

 

12．4特徵值和特徵向量舉例應用

 

12．5編程實踐： MATLAB計算特徵值和特徵向量

 

習題12

 

第13章相似矩陣與相似對角化

 

13．1相似矩陣

 

13．1．1相似矩陣的概念和意義

 

13．1．2相似矩陣的性質

 

13．2相似對角化

 

13．2．1相似對角化的概念和意義

 

13．2．2相似對角化的條件和計算

 

13．2．3相似對角化的應用

 

13．3實對稱矩陣

 

13．3．1實對稱矩陣的特徵值和特徵向量

 

13．3．2實對稱矩陣的相似對角化

 

13．3．3實對稱矩陣綜合舉例

 

13．4編程實踐： MATLAB實現相似對角化

 

習題13

 

第14章二次型

 

14．1二次型及其矩陣表示

 

14．1．1多元二次函數和二次型

 

14．1．2二次型的矩陣表示

 

14．2合同變換化二次型為標準形

 

14．2．1合同變換與合同對角化

 

14．2．2配方法化二次型為標準形

 

14．2．3正交變換法化二次型為標準形

 

14．3二次型和圓錐曲線、二次曲面

 

14．3．1二次型和平面圓錐曲線

 

14．3．2二次型和空間二次曲面

 

14．4規範形和正定、負定二次型

 

14．4．1二次型的規範形和慣性指數

 

14．4．2正定二次型和負定二次型

 

14．4．3順序主子式判定法則

 

14．5編程實踐： 二次型的綜合任務

 

習題14

 

第15章機器學習中的矩陣基礎

 

15．1多元函數的導數、極值和優化

 

15．1．1多元函數的導數： 梯度和海森矩陣

 

15．1．2多元函數極值求法

 

15．1．3梯度和海森矩陣優化算法

 

15．2最小二乘法

 

15．2．1散點的線性擬合問題舉例

 

15．2．2向量函數及其導數

 

15．2．3最小二乘法公式推導

 

15．3主成分分析法(PCA)

 

15．3．1數據的降維壓縮

 

15．3．2主成分分析基本原理

 

15．3．3主成分分析基本步驟和實例

 

15．4奇異值分解（SVD）

 

15．4．1矩陣和線性映射的分解

 

15．4．2奇異值分解的計算方法

 

15．4．3奇異值分解在圖像處理中的應用

 

習題15

 

第16章矩陣理論的發展與未來

 

16．1矩陣理論的起源和發展

 

16．2矩陣理論的學習和進階

 

習題16

 

附錄A數理邏輯及證明基礎知識

 

A.1命題邏輯

 

A.2充分條件和必要條件

 

A.3數學證明常用方法

 

A.3.1反證法

 

A.3.2分析法

 

A.3.3數學歸納法