普林斯頓微積分讀本（修訂版） The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus

阿德里安·班纳（Adrian Banner） 澳大利亚新南威尔士大学数学学士及硕士，普里斯顿大学数学博士。2002年起任职于INTECH公司，现为INTECH公司执行官兼投资官。同时，他在普林斯顿大学教学数学系任兼职教师。

第 1 章函數、圖像和直線… … … … … … … …1

1.1　函數… … … … … … … …1

1.1.1　區間表示法… … … … … … … …3

1.1.2　求定義域… … … … … … … …3

1.1.3　利用圖像求值域… … … … … … … …4

1.1.4　垂線檢驗… … … … … … … …5

1.2　反函數… … … … … … … …6

1.2.1　水平線檢驗… … … … … … … …7

1.2.2　求反函數… … … … … … … …8

1.2.3　限制定義域… … … … … … … …　8

1.2.4　反函數的反函數… … … … …　9

1.3　函數的復合… … … … … … … … … … … … …　10

1.4　奇函數和偶函數… … … … … … … … … …　12

1.5　線性函數的圖像… … … … … … … … … …　14

1.6　常見函數及其圖像… … … … … … … … …　16

第 2　章三角學回顧… … … … … … … … … … … … …　21

2.1　基本知識… … … … … … … … … … … … … … …　21

2.2　擴展三角函數定義域… … … … … … …　23

2.2.1　ASTC 方法… … … … … … … …　25

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函數… … … … … … … … … … … … …　27

2.3　三角函數的圖像… … … … … … … … … …　29

2.4　三角恆等式… … … … … … … … … … … … …　32

第3　章極限導論… … … … … … … … … … … … … … …　34

3.1　極限：基本思想… … … … … … … … … …　34

3.2　左極限與右極限… … … … … … … … … …　36

3.3　何時不存在極限… … … … … … … … … …　37

3.4　在∞和-∞處的極限… … … … …　38

3.5　關於漸近線的兩個常見誤解… … …　41

3.6　三明治定理… … … … … … … … … … … … …　43

3.7　極限的基本類型小結… … … … … … …　45

第4　章求解多項式的極限問題… … … … … …　47

4.1　x → a 時的有理函數的極限… … …　47

4.2　x → a 時的平方根的極限… … … …　50

4.3　x → ∞時的有理函數的極限… …　51

4.4　x → ∞時的多項式型函數的極限… …　56

4.5　x → -∞ 時的有理函數的極限… … … … …　59

4.6　函數的極限… … … …　61

第5　章連續性和可導性… … … … … … … … … …　63

5.1　連續性… … … … … … … … … … … … … … … …　63

5.1.1　在一點處連續… … … … … … …　63

5.1.2　在一個區間上連續… … … …　64

5.1.3　連續函數的一些例子… …　65

5.1.4　介值定理… … … … … … … … … …　67

5.1.5　一個更難的介值定理

例子…　… … … … … … … … … … … …　69

5.1.6　連續函數的**大值和

**小值…　… … … … … … … … … …　70

5.2　可導性… … … … … … … … … … … … … … … …　71

5.2.1　平均速率… … … … … … … … … …　72

5.2.2　位移和速度… … … … … … … …　72

5.2.3　瞬時速度… … … … … … … … … …　73

5.2.4　速度的圖像闡釋… … … … …　74

5.2.5　切線… … … … … … … … … … … … …　75

5.2.6　導函數… … … … … … … … … … …　77

5.2.7　作為極限比的導數… … … …　78

5.2.8　線性函數的導數… … … … …　80

5.2.9　二階導數和更高階導數… … … … … … … … … … … … …　80

5.2.10　何時導數不存在… … … … …　81

5.2.11　可導性和連續性… … … … …　82

第6　章求解微分問題… … … … … … … … … … …　84

6.1　使用定義求導… … … … … … … … … … … …　84

6.2　用更好的辦法求導… … … … … … … … …　87

6.2.1　函數的常數倍… … … … … … …　88

6.2.2　函數和與函數差… … … … …　88

6.2.3　通過乘積法則求積函數的導數… … … … … … … … … …　88

6.2.4　通過商法則求商函數的導數… … … … … … … … … …　90

6.2.5　通過鏈式求導法則求復合函數的導數… … … …　91

6.2.6　那個難以處理的例子… …　94

6.2.7　乘積法則和鏈式求導法則的理由… … … … … … …　96

6.3　求切線方程… … … … … … … … … … … … …　98

6.4　速度和加速度… … … … … … … … … … … …　99

6.5　導數偽裝的極限… … … … … … … … … …　101

6.6　分段函數的導數… … … … … … … … … …　103

6.7　直接畫出導函數的圖像… … … … … …　106

第7　章三角函數的極限和導數… … … … … …　111

7.1　三角函數的極限… … … … … … … … … …　111

7.1.1　小數的情況… … … … … … … …　111

7.1.2　問題的求解——小數的情況… … … … … … … … … … …　113

7.1.3　大數的情況… … … … … … … …　117

7.1.4　其他的" 情況… … … … … …　120

7.1.5　一個重要極限的證明… …　121

7.2　三角函數的導數… … … … … … … … … …　124

7.2.1　求三角函數導數的例子… … … … … … … … … … … … …　127

7.2.2　簡諧運動… … … … … … … … … …　128

7.2.3　一個有趣的函數… … … … …　129

第8　章隱函數求導和相關變化率… … … …　132

8.1　隱函數求導… … … … … … … … … … … … …　132

8.1.1　技巧和例子… … … … … … … …　133

8.1.2　隱函數求二階導… … … … …　137

8.2　相關變化率… … … … … … … … … … … … …　138

8.2.1　一個簡單的例子… … … … …　139

8.2.2　一個稍難的例子… … … … …　141

8.2.3　一個更難的例子… … … … …　142

8.2.4　一個非常難的例子… … … …　144

第9　章指數函數和對數函數… … … … … … …　148

9.1　基礎知識… … … … … … … … … … … … … … …　148

9.1.1　指數函數的回顧… … … … …　148

9.1.2　對數函數的回顧… … … … …　149

9.1.3　對數函數、指數函數及反函數… … … … … … … … … …　150

9.1.4　對數法則… … … … … … … … … …　151

9.2　e 的定義… … … … … … … … … … … … … … …　153

9.2.1　一個有關復利的問題… …　153

9.2.2　問題的答案… … … … … … … …　154

9.2.3　更多關於e 和對數函數的內容… … … … … … … …　156

9.3　對數函數和指數函數求導… … … …　158

9.4　求解指數函數或對數函數的極限… … … … … … …… … … …　161

9.4.1　涉及e 的定義的極限… …　161

9.4.2　指數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　162

9.4.3　對數函數在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　164

9.4.4　指數函數在∞或-∞附近的行為… … … … …　164

9.4.5　對數函數在∞附近的行為… … … … … … … … … … … … …　167

9.4.6　對數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …　168

9.5　取對數求導法… … … … … … … … … … … …　169

9.6　指數增長和指數衰變… … … … … … …　173

9.6.1　指數增長… … … … … … … … … …　174

9.6.2　指數衰變… … … … … … … … … …　176

9.7　雙曲函數… … … … … … … … … … … … … … …　178

第 10　章反函數和反三角函數… … … … … …　181

10.1　導數和反函數… … … … … … … … … … …　181

10.1.1　使用導數證明反函數存在… … … … … … … … … … … …　181

10.1.2　導數和反函數：可能出現的問題… … … … … … … …　182

10.1.3　求反函數的導數… … … … …　183

10.1.4　一個綜合性例子… … … … …　185

10.2　反三角函數… … … … … … … … … … … …　187

10.2.1　反正弦函數… … … … … … … …　187

10.2.2　反餘弦函數… … … … … … … …　190

10.2.3　反正切函數… … … … … … … …　192

10.2.4　反正割函數… … … … … … … …　194

10.2.5　反餘割函數和反餘切函數… … … … … … … … … … … …　195

10.2.6　計算反三角函數… … … … …　196

10.3　反雙曲函數… … … … … … … … … … … …　199

第 11　章導數和圖像… … … … … … … … … … … …　202

11.1　函數的極值… … … … … … … … … … … …　202

11.1.1　全局極值和局部極值… …　202

11.1.2　極值定理… … … … … … … … …　203

11.1.3　求全局**大值和**小值… … … … … … … … … … … …　204

11.2　羅爾定理… … … … … … … … … … … … … …　206

11.3　中值定理… … … … … … … … … … … … … …　209

11.4　二階導數和圖像… … … … … … … … …　212

11.5　對導數為零點的分類… … … … … …　215

11.5.1　使用一次導數… … … … … …　215

11.5.2　使用二階導數… … … … … …　217

第 12　章繪制函數圖像… … … … … … … … … … …　219

12.1　建立符號表格… … … … … … … … … … …　219

12.1.1　建立一階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …　221

12.1.2　建立二階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …　222

12.2　繪制函數圖像的全面方法… … …　224

12.3　例題… … … … … … … … … … … … … … … … …　225

12.3.1　一個不使用導數的例子… … … … … … … … … … … …　225

12.3.2　完整的方法：例一… … …　227

12.3.3　完整的方法：例二… … …　229

12.3.4　完整的方法：例三… … …　231

12.3.5　完整的方法：例四… … …　234

第 13　章**優化和線性化… … … … … … … … …　239

13.1　**優化… … … … … … … … … … … … … … …　239

13.1.1　一個簡單的**優化例子… … … … … … … … … … … …　239

13.1.2　**優化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …　240

13.1.3　一個**優化的例子… … …　241

13.1.4　另一個**優化的例子… …　242

13.1.5　在**優化問題中使用隱函數求導… … … … … … … …　246

13.1.6　一個較難的**優化例子… … … … … … … … … … … …　246

13.2　線性化… … … … … … … … … … … … … … …　249

13.2.1　線性化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …　251

13.2.2　微分… … … … … … … … … … … …　252

13.2.3　線性化的總結和例子… …　254

13.2.4　近似中的誤差… … … … … …　256

13.3　牛頓法… … … … … … … … … … … … … … …　258

第 14　章洛必達法則及極限問題總結… …　263

14.1　洛必達法則… … … … … … … … … … … …　263

14.1.1　類型A：0/0 … … … … … … …　263

14.1.2　類型A：±∞/±∞ … …　266

14.1.3　類型B1: (∞-∞) … …　267

14.1.4　類型B2: (0 x±∞) … …　269

14.1.5　類型C: 1±∞，00 或∞0… … … …　270

14.1.6　洛必達法則類型的總結… … … … … … … … … … … …　272

14.2　關於極限的總結… … … … … … … … …　273

第 15　章積分… … … … … … … … … … … … … … … …　276

15.1　求和符號… … … … … … … … … … … … … …　276

15.1.1　一個有用的求和… … … … …　279

15.1.2　伸縮求和法… … … … … … … …　280

15.2　位移和麵積… … … … … … … … … … … …　283

15.2.1　三個簡單的例子… … … … …　283

15.2.2　一段更常規的旅行… … …　285

15.2.3　有向面積… … … … … … … … …　287

15.2.4　連續的速度… … … … … … … …　288

15.2.5　兩個特別的估算… … … … …　291

第 16　章定積分… … … … … … … … … … … … … … …　293

16.1　基本思想… … … … … … … … … … … … … …　293

16.2　定積分的定義… … … … … … … … … … …　297

16.3　定積分的性質… … … … … … … … … … …　301

16.4　求面積… … … … … … … … … … … … … … …　305

16.4.1　求通常的面積… … … … … …　306

16.4.2　求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … …　308

16.4.3　求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … …　310

16.5　估算積分… … … … … … … … … … … … … …　313

16.6　積分的平均值和中值定理… … …　316

16.7　不可積的函數… … … … … … … … … … …　319

第 17　章微積分基本定理… … … … … … … … …　321

17.1　用其他函數的積分來表示的函數… … … … … … … … … …… …　321

17.2　微積分的第 一基本定理… … … … …　324

17.3　微積分的第 二基本定理… … … … …　328

17.4　不定積分… … … … … … … … … … … … … …　329

17.5　怎樣解決問題：微積分的第 一基本定理… … … … … … … … … … … …　331

17.5.1　變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … …　332

17.5.2　變形2：積分上限是一個函數… … … … … … … … …　332

17.5.3　變形3：積分上下限都為函數… … … … … … … … …　334

17.5.4　變形4：極限偽裝成導數… … … … … … … … … … … …　335

17.6　怎樣解決問題：微積分的第 二基本定理… … … … … … … … … … … …　336

17.6.1　計算不定積分… … … … … …　336

17.6.2　計算定積分… … … … … … … …　339

17.6.3　面積和 … … … … …　341

17.7　技術要點… … … … … … … … … … … … … …　344

17.8　微積分第 一基本定理的證明… …　345

第 18　章積分的方法I… … … … … … … … … … …　347

18.1　換元法… … … … … … … … … … … … … … …　347

18.1.1　換元法和定積分… … … … …　350

18.1.2　如何換元… … … … … … … … …　353

18.1.3　換元法的理論解釋… … …　355

18.2　分部積分法… … … … … … … … … … … …　356

18.3　部分分式… … … … … … … … … … … … … …　361

18.3.1　部分分式的代數運算… …　361

18.3.2　對每一部分積分… … … … …　365

18.3.3　方法和一個完整的例子… … … … … … … … … … … …　367

第 19　章積分的方法II … … … … … … … … … …　373

19.1　應用三角恆等式的積分… … … … …　373

19.2　關於三角函數的冪的積分… … …　376

19.2.1　sin 或cos 的冪… … … … …　376

19.2.2　tan 的冪… … … … … … … … …　378

19.2.3　sec 的冪… … … … … … … … … …　379

19.2.4　cot 的冪… … … … … … … … … …　381

19.2.5　csc 的冪… … … … … … … … … …　382

19.2.6　約化公式… … … … … … … … …　382

19.3　關於三角換元法的積分… … … … …　384

19.3.1　類型1：pa2 x2 … … …　384

19.3.2　類型2：px2 + a2 … … …　386

19.3.3　類型3：px2 a2 … … …　387

19.3.4　配方和三角換元法… … …　388

19.3.5　關於三角換元法的總結… … … … … … … … … … … …　389

19.3.6　平方根的方法和三角換元法… … … … … … … … … … …　389

19.4　積分技巧總結… … … … … … … … … … …　391

第 20　章反常積分：基本概念… … … … … …　393

20.1　收斂和發散… … … … … … … … … … … …　393

20.1.1　反常積分的一些例子… …　395

20.1.2　其他破裂點… … … … … … … …　397

20.2　關於無窮區間上的積分… … … … …　398

20.3　比較判別法(理論)… … … … … … … …　400

20.4　極限比較判別法(理論)… … … … …　402

20.4.1　函數互為漸近線… … … … …　402

20.4.2　關於判別法的陳述… … …　404

20.5　p 判別法(理論) … … … … … … … … …　405

20.6　絕√收斂判別法… … … … … … … … …　407

第 21　章反常積分：如何解題… … … … … …　410

21.1　如何開始… … … … … … … … … … … … … …　410

21.1.1　拆分積分… … … … … … … … …　410

21.1.2　如何處理負函數值… … …　411

21.2　積分判別法總結… … … … … … … … …　413

21.3　常見函數在∞ 和-∞附近的表現… … … … … … … … … …　414

21.3.1　多項式和多項式型函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … … … … … … …　415

21.3.2　三角函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … …　417

21.3.3　指數在∞和-∞附近的表現… … … … … … … … …　419

21.3.4　對數在∞ 附近的表現… … … … … … … … … … … …　422

21.4　常見函數在0 附近的表現… … …　426

21.4.1　多項式和多項式型函數在0 附近的表現… … …　426

21.4.2　三角函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　427

21.4.3　指數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　429

21.4.4　對數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …　430

21.4.5　更一般的函數在0 附近的表現… … … … … … … … …　431

21.5　如何應對不在0 或1 處的瑕點… … … … … … … … … … …… … …　432

第 22　章數列和級數：基本概念… … … … …　434

22.1　數列的收斂和發散… … … … … … … …　434

22.1.1　數列和函數的聯系… … …　435

22.1.2　兩個重要數列… … … … … …　436

22.2　級數的收斂與發散… … … … … … … …　438

22.3　第n 項判別法(理論) … … … … … …　442

22.4　無窮級數和反常積分的性質… …　443

22.4.1　比較判別法(理論) … … …　443

22.4.2　極限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … …　444

22.4.3　p 判別法(理論)… … … … …　444

22.4.4　絕√收斂判別法… … … … …　445

22.5　級數的新判別法… … … … … … … … …　447

22.5.1　比式判別法(理論) … … …　447

22.5.2　根式判別法(理論) … … …　449

22.5.3　積分判別法(理論) … … …　450

22.5.4　交錯級數判別法(理論) … … … … … … … … … … …　453

第 23　章求解級數問題… … … … … … … … … …　455

23.1　求幾何級數的值… … … … … … … … …　455

23.2　應用第n 項判別法… … … … … … …　457

23.3　應用比式判別法… … … … … … … … …　457

23.4　應用根式判別法… … … … … … … … …　461

23.5　應用積分判別法… … … … … … … … …　462

23.6　應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法… … … … … … … …　463

23.7　應對含負項的級數… … … … … … … …　468

第 24　章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論… … … … … … … … …　472

24.1　近似值和泰勒多項式… … … … … …　472

24.1.1　重訪線性化… … … … … … … …　472

24.1.2　二次近似… … … … … … … … …　473

24.1.3　高階近似… … … … … … … … …　474

24.1.4　泰勒定理… … … … … … … … …　475

24.2　冪級數和泰勒級數… … … … … … … …　478

24.2.1　一般冪級數… … … … … … … …　479

24.2.2　泰勒級數和麥克勞林級數… … … … … … … … … … … …　481

24.2.3　泰勒級數的收斂性… … …　481

24.3　一個有用的極限… … … … … … … … …　485

第 25　章求解估算問題… … … … … … … … … …　487

25.1　泰勒多項式與泰勒級數總結… …　487

25.2　求泰勒多項式與泰勒級數… … …　488

25.3　用誤差項估算問題… … … … … … … …　491

25.3.1　第 一個例子… … … … … … … …　492

25.3.2　第 二個例子… … … … … … … …　494

25.3.3　第三個例子… … … … … … … …　495

25.3.4　第四個例子… … … … … … … …　496

25.3.5　第五個例子… … … … … … … …　497

25.3.6　誤差項估算的一般方法… … … … … … … … … … … …　499

25.4　誤差估算的另一種方法… … … … …　499

第 26　章泰勒級數和冪級數：如何解題… … … … … … … …… … … … …　502

26.1　冪級數的收斂性… … … … … … … … …　502

26.1.1　收斂半徑… … … … … … … … …　502

26.1.2　求收斂半徑和收斂區域… … … … … … … … … … … …　504

26.2　合成新的泰勒級數… … … … … … … …　508

26.2.1　代換和泰勒級數… … … … …　509

26.2.2　泰勒級數求導… … … … … …　511

26.2.3　泰勒級數求積分… … … … …　512

26.2.4　泰勒級數相加和相減… …　514

26.2.5　泰勒級數相乘… … … … … …　515

26.2.6　泰勒級數相除… … … … … …　516

26.3　利用冪級數和泰勒級數求導… …　517

26.4　利用麥克勞林級數求極限… … …　519

第 27　章參數方程和極坐標… … … … … … …　523

27.1　參數方程… … … … … … … … … … … … … …　523

27.2　極坐標… … … … … … … … … … … … … … …　528

27.2.1　極坐標與笛卡兒坐標互換… … … … … … … … … … … …　529

27.2.2　極坐標系中畫曲線… … …　530

27.2.3　求極坐標曲線的切線… …　534

27.2.4　求極坐標曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … …　535

第 28　章復數… … … … … … … … … … … … … … … …　538

28.1　基礎… … … … … … … … … … … … … … … … …　538

28.2　復平面… … … … … … … … … … … … … … …　541

28.3　復數的高次冪… … … … … … … … … … …　544

28.4　解zn = w … … … … … … … … … … … … …　545

28.5　解ez = w … … … … … … … … … … … … …　550

28.6　一些三角級數… … … … … … … … … … …　552

28.7　歐拉恆等式和冪級數… … … … … …　554

第 29　章體積、弧長和錶面積… … … … … …　556

29.1　旋轉體的體積… … … … … … … … … … …　556

29.1.1　圓盤法… … … … … … … … … … …　557

29.1.2　殼法… … … … … … … … … … … …　558

29.1.3　總結和變式… … … … … … … …　560

29.1.4　變式1：區域在曲線和y 軸之間… … … … … … …　561

29.1.5　變式2：兩曲線間的區域… … … … … … … … … … … …　562

29.1.6　變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉… … … … …　565

29.2　一般立體體積… … … … … … … … … … …　567

29.3　弧長… … … … … … … … … … … … … … … … …　571

29.4　旋轉體的錶面積… … … … … … … … …　574

第30　章微分方程… … … … … … … … … … … … …　578

30.1　微分方程導論… … … … … … … … … … …　578

30.2　可分離變量的一階微分方程… …　579

30.3　一階線性方程… … … … … … … … … … …　581

30.4　常系數微分方程… … … … … … … … …　585

30.4.1　解一階齊次方程… … … … …　586

30.4.2　解二階齊次方程… … … … …　586

30.4.3　為什麽特徵二次方程適用… … … … … … … … … … … …　587

30.4.4　非齊次方程和特解… … …　588

30.4.5　求特解… … … … … … … … … … …　589

30.4.6　求特解的例子… … … … … …　590

30.4.7　解決yP 和yH 間的沖突… … … … … … … … … … … …　592

30.4.8　IVP … … … … … … … … … … … …　593

30.5　微分方程建模… … … … … … … … … … …　595

附錄A　極限及其證明… … … … … … … … … …　598

A.1　極限的正式定義… … … … … … … … … …　598

A.2　由原極限產生新極限… … … … … … …　602

A.3　極限的其他情形… … … … … … … … … …　606

A.4　連續與極限… … … … … … … … … … … … …　611

A.5　再談指數函數和對數函數… … … …　616

A.6　微分與極限… … … … … … … … … … … … …　618

A.7　泰勒近似定理的證明… … … … … … …　627

附錄B　估算積分… … … … … … … … … … … … …　629

B.1　使用條紋估算積分… … … … … … … …　629

B.2　梯形法則… … … … … … … … … … … … … …　632

B.3　辛普森法則… … … … … … … … … … … … …　634

B.4　近似的誤差… … … … … … … … … … … … …　636

符號列表…　… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …　640

索引…　… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …　643