白話微積分, 4/e

卓永鴻

先後就讀台灣大學歷史系及台灣大學數學研究所，
師承台大數學系楊維哲老師及張海潮老師。

在教學中擅長以平近的語言進行闡釋，
幫助同學搞懂數學的精神。
在解題上循循善誘、化繁為簡，
使同學較好吸收解題的思想。

就讀台灣大學期間，
曾擔任台大教學發展中心微積分諮詢輔導，
解決全校各系同學在微積分上的疑難。
期間一共八個學期，
經常獲得同學的滿分評價、彼此推薦。

1　極限與連續
1.1 微積分的起源
1.2 數列的極限
1.3 連續函數與函數的極限
1.4 極限的嚴格定義
　1.4.1 極限的定義
　1.4.2 用極限定義作證明
1.5 連續函數的性質
1.6 自然指數與自然對數
　1.6.1 自然指數
　1.6.2 自然對數
　1.6.3 利用e的定義解極限
　1.6.4 e之趣談
1.7 漸近線
　1.7.1 水平漸近線
　1.7.2 鉛直漸近線
　1.7.3 斜漸近線

2　微分
2.1 微分的定義
2.2 導數的性質與冪函數的導函數
2.3 三角函數與指對數函數的導函數
2.4 高階導數
2.5 連鎖規則
2.6 單側導數
2.7 隱函數的求導
2.8 反函數的求導
2.9 取對數求導法
2.10 參數式求導
2.11 微分( differential )

3　微分的應用
3.1 切線與法線
3.2 變率問題
3.3 函數的單調性與凹凸性
　3.3.1 函數的單調性
　3.3.2 函數的凹凸性
3.4 極值問題
　3.4.1 一階檢定法
　3.4.2 二階檢定法
3.5 繪製函數圖形
3.6 微分均值定理
3.7 羅必達法則
　3.7.1 羅必達法則的使用介紹
　3.7.2 羅必達法則的誤用探討

4　積分
4.1 積分的定義
4.2 積分的基本性質
4.3 微積分基本定理
　4.3.1 微積分基本定理第一部分
　4.3.2 微積分基本定理第二部分
4.4 不定積分
4.5 曲線間所圍面積

5　積分技巧
5.1 分部積分
5.2 變數代換
5.3 參變代換
5.4 三角代換
5.5 有理函數的積分：部分分式法
5.6 三角函數的積分
　5.6.1 三角函數的冪次
　5.6.2 含有sin(x) 及cos(x) 的有理式
　5.6.3 巧妙的代換
5.7 瑕積分
　5.7.1 第一類瑕積分（積分範圍無界）
　5.7.2 第二類瑕積分（函數無界）
　5.7.3 瑕積分的斂散性

6　積分的應用
6.1 曲線弧長
6.2 求體積
6.3 旋轉體體積
　6.3.1 圓盤法
　6.3.2 剝殼法
6.4 旋轉體的表面積

7　特殊函數
7.1 雙曲函數
　7.1.1 雙曲函數的定義
　7.1.2 雙曲函數的基本公式
　7.1.3 雙曲函數的導函數
　7.1.4 反雙曲函數
　7.1.5 反雙曲函數的導函數
7.2 gamma 函數

8　無窮級數
8.1 無窮級數的收斂與發散
8.2 積分審斂法
8.3 比較審斂法
8.4 比值審斂法與根值審斂法
8.5 交錯級數審斂法
8.6 條件收斂與絕對收斂
8.7 冪級數

9　泰勒展開
9.1 泰勒展開：多項式逼近函數
9.2 多項式逼近的應用
9.3 泰勒定理與餘項
9.4 冪級數的和函數

10　極坐標
10.1 極坐標簡介
10.2 極坐標中的常見曲線
10.3 極坐標求面積
10.4 極坐標求弧長

11　多變數的微分學
11.1 多變函數簡介
11.2 多變函數的極限
11.3 偏導數
11.4 全微分
　11.4.1 通俗不嚴謹的討論
　11.4.2 理論探討
11.5 多變數的連鎖規則
11.6 多變數的隱函數求導
11.7 梯度、方向導數與切平面
　11.7.1 梯度的定義
　11.7.2 方向導數
　11.7.3 切平面
11.8 多變函數的極值問題
11.9 拉格朗日乘子法

12　重積分
12.1 二重積分
12.2 三重積分
12.3 重積分的變數代換
12.4 極坐標代換
12.5 圓柱坐標代換
12.6 球坐標代換

13　微分方程簡介
13.1 微分方程的定義與分類
13.2 可分離微分方程
13.3 一階線性微分方程