速查! 數學大百科事典 – 127 個公式、定理、 法則

蔵本貴文 (Kuramoto Takafumi)
1978 年 1 月生。關西學院大學理學院物理系畢業後，由於追求尖端物理的實踐與學習，而就職於某大型半導體企業。目前則是利用微積分、三角函數與複變數函數的知識，將半導體裝置的特性用數學式建立模型的專業工作。此外，也以工程類作家的身分撰寫書籍與編輯工作。著作還有《學校不會教的數學！只要這一本書就可以讓你知道高中數學的重點與使用方法》（日本秀和出版社）

[譯者]

黃鵬瑞 博士
日本弘前大學理學博士
淡江大學數學碩士
現職於台灣某上櫃光學公司研發部門，擔任專案工程師與負責資料分析等工作
研究領域：線性代數、圖論

Chapter01 中學數學回顧
重點是推廣、抽象、邏輯的觀念
01 正負數
用數線來理解負數的計算
銀行貸款與溫度
02 無理數、平方根
無法用分數表示的數字
為什麼一定要把分母有理化
03 代數式
使用代數式的理由
抽象化的優點
用代數式寫程式
04 交換律、分配律與結合律
理所當然的交換律
為何代數式不使用除號
05 乘法公式與因式分解
一定要反覆練習
為什麼要做因式分解？
用因式分解來看職員的付出與公司的利益
06 一次方程式
方程式是為了求出未知數的答案（解）
求出商品價格
07 聯立方程式
聯立方程式當中存在著兩個或兩個以上的未知數
求蘋果與橘子的價格
08 比例
日常生活中的比例
什麼是座標？
09 反比例
日常生活中的反比例
速率、時間、距離公式中的比例與反比例
10 圖形的性質（三角形、四邊形、圓）
至少需要掌握的圖形基本性質
11 圖形的全等與相似
相似的意思
無法製造超大型飛機的原因
12 證明
為什麼要學證明？
證明等腰三角形的兩底角相等
13 畢氏定理
重要的畢氏定理
將畢氏定理推廣到空間圖形
電視螢幕的尺寸
Column 絕對值代表距離

Chapter02 一次、二次函數與方程式、不等式
函數可以用來做甚麼？
一次函數與二次函數的重要性
用函數圖形來思考，較容易理解方程式與不等式
01 函數及其定義
甚麼是函數？
反函數、多變數函數、合成函數
02 一次函數與圖形
一次函數的圖形為直線
斜率與截距之所以重要的理由
03 二次函數與圖形
二次函數圖形是拋物線
頂點之所以重要的原因
04 二次方程式的解法
二次方程式的三種解法
點心公司的利潤
05 二次方程式的虛數根
根號中出現負數時
價格為虛數!?
06 二次方程式的判別式、根與係數的關係
判別式是用來判斷根的狀況
快速解題
07 高次函數
函數次方數越增加，圖形就越蜿蜒
利用高次函數作資料點的擬合
08 因式定理與餘式定理
用實例去考慮因式定理就不難了
多項式的除法運算
高次多項式的解法
09 不等式的解法
在不等式兩邊乘上負數時要特別小心！
二次不等式的解法
10 不等式與滿足不等式可行解的區域
不等式與可行解區域要畫出圖形
利用線性規劃算出最大的銷售額
Column 確保網路安全的質因數分解

Chapter03 指數、對數
指數可以方便我們處理很大的數值或很小的數值
對數是指數的逆運算
01 指數
指數是為了表示大數值的技巧
求出「隼鳥號」探測器的速度
02 指數的推廣
為何要將指數推廣到非整數？
將指數推廣到無理數
03 指數函數的圖形性質
指數函數的特徵
指數函數的圖形
複利的本利和計算
04 對數函數的定義
對數是指數的逆運算
對數的好處是？
05 對數函數圖形的性質
對數函數的特徵
熵是使用對數定義出來的物理量
06 對數的換底公式
使用換底公式的例題
為何底數不能是 1 與負數？
07 常用對數與自然對數
常用對數與自然對數的性質
利用對數表來計算
如何利用電腦計算指數、對數？
08 對數圖的使用方法
對數尺度的意義
將二極體的電流－電壓特性以對數圖表示
09 指數、對數的物理單位
表示指數的單位制詞頭
分貝與地震規模
Column 數學世界的炸彈

Chapter04 三角函數
三角函數是表示波的函數
三角函數的重點
01 三角函數的基本公式
先利用直角三角形熟悉三角函數
利用「三角測量」求高度
02 三角函數的廣義角與圖形
將定義由直角三角形轉變為單位圓
描繪三角函數的圖形
利用三角函數表示波
03 三角函數的和差角公式與其他公式
讓考生哭泣的公式群
使用於智慧型手機中電波的頻率變換
04 弧度制
為什麼要使用弧度制？
用軟體或程式計算三角函數要注意角度的單位
05 正弦定理與餘弦定理
經常出題的正弦定理、餘弦定理
三角形面積公式的整理 093
06 傅立葉級數（Fourier series）
所有的波都可以用sin、cos 來理解
聲音、光與頻率的關係
07 離散餘弦變換
智慧型手機的照片中使用的三角函數
影像的壓縮方法
Column 有效位數：20 與20.00 的差異

Chapter05 微分
甚麼是微分？
可以處理無限
與積分的關係
01 極限與無限大
容易被誤解的極限
解讀函數值範圍的方法
02 導數（微分的定義）
先掌握微分的概念
03 導函數
x^n 的微分很簡單
導函數的意義
04 三角函數、指數、對數函數的微分
三角函數的微分
納皮爾常數登場
05 微分的乘積法則與鏈鎖法則
確認公式正確性的方法
將 dy/dx 當成分數處理
06 切線公式 116
知道微分後，切線就變得簡單了
利用電腦編輯曲線
07 高階導函數與函數的凹性
高階導函數
函數的凹性
08 均值定理與可微分函數
理所當然的定理？
函數可微分的意義
Column dy/dx 是分數嗎？

Chapter06 積分
甚麼是積分？
利用積分求面積的方法
01 積分的定義與微積分基本定理
積分是求面積的工?
積分符號的意義
積分是微分的逆運算
02 不定積分
不定積分的求法
甚麼是積分常數 C
03 定積分的計算方法
定積分沒有積分常數
定積分的範圍與面積的正負號
04 分部積分法
分部積分是微分乘法法則的逆運算
05 變數變換法（代換積分法）
變數變換法是微分鏈鎖法則的逆運算
06 積分與體積
體積是由無限多個薄板組合成的
07 曲線的長度
曲線長度是利用分割成無限多個短直線加總
08 位置、速度、加速度的關係
牛頓的運動方程式
Column 建構微積分理論的牛頓與萊布尼茲

Chapter07 高等微積分
對高中生也有學習的幫助
微分方程式的解是函數
多變量函數的處理
01 微分方程式
微分方程式是求函數的方程式
微分方程式的解法
運動方程式、放射性元素的衰變
02 拉普拉斯變換
利用拉普拉斯變換簡單解出微分方程式
解出電子電路的微分方程式
03 偏微分與多變量函數
多變量函數的微分是偏微分
多變量函數的極大值、極小值問題
04 拉格朗日乘數法
拉格朗日乘數法的是很好用的技巧
統計分析的極大值、極小值
05 多重積分
多變量函數的積分為多重積分
由密度算出重量
06 曲線積分與曲面積分
多變量函數積分的範圍與路徑
計算每個路徑需要的能量
Column ε-δ 理論

Chapter08 數值分析
計算數值要靠演算法
處理數值的難度
01 線性逼近
用切線來逼近曲線函數
單擺的等時性也是近似值
02 泰勒展開式、馬克勞林展開式
函數以 x^n 多項式的和，來表示馬克勞林展開式
電腦的計算
03 牛頓- 拉弗森法
利用切線求方程式解的方法
收斂或發散
04 數值計算的微分（差分）
在數值計算中的微分就是差分
將腳踏車的加速資料進行微分
05 數值積分（梯形公式、辛普森積分法）
以甚麼為基準來計算面積？
指數函數的積分計算
06 微分方程式的數值解法（尤拉方法）
尤拉方法是將曲線以切線逼近
雙擺運動
Column 電腦是以 2 進位做運算

Chapter09 數列
數列與離散數學息息相關
數列的和很重要
01 等差數列
等差數列相鄰項的遞增或遞減為固定的數字
計算金字塔的石頭數量
02 等比數列
等比級數的想法
計算利潤損失的萊布尼茲係數
03 使用 Σ 記號
Σ（讀做sigma）其實很好懂
Σ記號的不同寫法
04 遞迴關係式
遞迴關係式是表示數列局部關係的式子
細胞自動機與費波納契數列
05 無限級數
將無限多個數相加，重點是能否收斂到一個唯一的值
循環小數的表示
06 數學歸納法
如同骨牌一樣的數學歸納法
數學歸納法的悖論
Column 認識希臘字母

Chapter10 圖形與方程式
將圖形用方程式表示
極座標適合處理圓形
01 直線方程式
直線方程式的圖形
在螢幕描繪直線的做法
02 圓方程式
圓方程式的意義
在螢幕描繪圓的做法
03 二次曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）
橢圓、雙曲線、拋物線的特徵
衛星的軌道
04 平移後的圖形方程式
移動圖形的方法
電腦影像處理使用的仿射變換
05 點對稱、線對稱
對稱變換的方法
奇函數與偶函數的積分
06 圖形的旋轉
旋轉要靠三角函數
旋轉座標系中的離心力與科氏力
07 參數式
參數式有其必要
擺線的分析
08 極座標
極座標是表示方向與距離的座標系
船舶的航行
09 三維空間圖形的方程式
比較二維與三維空間
Column 數學也需要空間認知能力

Chapter11 向量
向量不只是箭頭
向量乘積有不同的定義
01 向量的定義與符號
向量是同時具有大小與方向的量
力的分解
02 向量的座標表示與位置向量
向量數值化
線段的內分點公式
03 向量的線性獨立
線性獨立與線性相依
實際數據在做座標軸轉換時的考量
04 向量內積（向量平行、垂直的條件）
向量內積的意思
物體受力移動所做的功
05 平面圖形的向量方程式
使用向量方程式的好處
06 空間向量
向量在平面與三維空間會改變與不變的性質
就算是超弦理論的九維空間也適用
07 空間圖形的向量方程式
空間圖形更容易看出向量方程式的優點
三維 CAD 資料的二維化
08 向量的外積
外積的計算結果為向量
旋轉馬達的力
09 速度向量與加速度向量
利用向量表示平面上的運動
等速率圓周運動的分析
10 梯度、散度、旋度
向量微積分並不可怕
馬克士威方程式
Column 抽象化可以表示更多的東西

Chapter12 矩陣
矩陣可以將向量做線性變換
矩陣與程式設計
01 矩陣基本運算規則
要特別注意矩陣乘法
矩陣相乘的哈達瑪積
02 單位矩陣、反矩陣、行列式
反矩陣可視為矩陣的倒數
03 矩陣與聯立方程式
利用矩陣解聯立方程式的優點
利用高斯消去法求聯立方程式的解
04 矩陣與線性變換
矩陣有利程式計算
平移的矩陣表示
05 特徵值與特徵向量
直觀理解特徵值與特徵向量
矩陣的對角化
06 三階方陣
矩陣越大，計算就越複雜
利用高斯消去法求反矩陣
Column 矩陣的用途很大

Chapter13 複數（虛數）
由實數進入複數的世界
複數擴展了科技的進步
01 複數的基礎
複數的絕對值
利用複數表示反射係數
02 複數平面與複數極式
複數適合用來表示旋轉
03 尤拉公式
結合指數函數與三角函數的公式
以複數表示交流電路
04 傅立葉變換
傅立葉變換的意義
甚麼是函數正交、函數內積
無線通訊技術與傅立葉變換
05 四元數
四元數可以擴大複數的應用範圍
3D 動畫受惠於四元數的快速運算
Column 甚麼是虛數的時間

Chapter14 機率
機率的重點是理解語意
真實世界的機率與數學的機率
01 計數原理
計數時不要少算、多算
是加法？還是乘法？
02 排列公式
有排列順序時，則使用排列公式
可重複選取的排列總數
03 組合公式
組合公式使用於不考慮排列順序的情形
重複組合
排列與組合的整理
由巴斯卡三角形推導出的二項式定理
04 機率的定義
「各種事件出現的機率均等」的問題
數學的機率與統計的機率
05 機率的加法原理
互斥表示沒有共通的部分
06 獨立事件
從獨立事件的反面理解
買尿布與買啤酒的機率
07 重複試驗
重複試驗是利用組合公式的概念
應用於風險管理的帕松分布
08 條件機率與機率的乘法原理
條件機率的分母會因條件而改變
09 貝氏定理
熟悉條件機率就更容易理解貝氏定理
判斷垃圾郵件
Column 蒙地卡羅法（Monte Carlo method）

Chapter15 基礎統計 
瞭解平均值與標準差就算入門統計了
常態分布是統計學上的最大發現
統計成立的前提
01 平均值
為何要算平均
所得分布的分析
02 變異數與標準差
標準差為離散程度的指標
為何要平方？
計算變異數與標準差使用的函數
製程能力指標
03 相關係數
相關係數用來表示兩種數據的相關程度
投資組合
04 機率分布與期望值
藉由實例學習機率分布
博奕的期望值
05 二項分布與帕松分布
二項分布與帕松分布的關係
擊出安打的次數、瑕疵品的個數
06 常態分布
為什麼常態分布這麼重要？
常態分布非萬能
07 偏度、峰度、常態機率圖
掌握常態分布的偏離程度
常態機率圖的使用方法
08 大數法則與中央極限定理
怎樣才算「多」？
中央極限定理：樣本平均值的分布會趨近常態分布
Column 數據是統計的基礎

Chapter16 統計進階
統計需要電腦幫忙
統計推論是藉由抽樣來推論母體
迴歸分析可以預測未來
01 母體平均數的區間估計
由樣本統計值估算母體平均值
成年男性的平均身高
02 母體比率的區間估計
由樣本統計值估算母體平均
電視節目的收視率
03 假設檢定
工廠間的產品差異
04 單變量迴歸分析
迴歸分析的意義
活動的效果
05 多變量迴歸分析
多個自變數的迴歸分析稱為多變量迴歸分析
氣候條件與農作物收穫量的關係
06 主成分分析
主成分分析的目的
品牌印象調查
07 因素分析
因素分析著重於意義的解釋
顧客問卷的分析
Column 數據是最大的敵人