線性代數 ─ 基礎與應用

<內容簡介>

在第一章中探討的是向量分析及空間解析幾何，介紹了向量運算之物理意義及其在空間及幾何上的應用。若讀者已經在工程數學或其他相關課程中了解相關知識，可略過本章直接研讀接下來之章節，在邏輯上依然具有連貫性。

第二章探討的主題是矩陣的基本運算，其中行列式及反矩陣是本章之重點，此外向量函數（多變數函數）的微分亦在本章中詳細討論。

第三章探討的主題是利用高斯消去法(GAUSS-JORDAN ELIMINATION METHOD)求解線性方程組，並延伸出矩陣的LU分解。

第四至第七章為本書或是線性代數之主軸，其主要內容為向量空間與線性映射。在第四章中闡述了向量空間、基底、正交補空間、與內積空間，此外介紹了Gram-Schmidt 正交化過程與QR 分解。

第五章描述之重點為線性映射與相似變換，在不同空間下之基底變換為研讀之重點。

第六章定義了零空間、像空間並深入探討映射理論。由此延伸出極為重要之主題：正交投影、HOUSEHOLDER 轉換、與Curve fitting。

第七章探討的主題是矩陣之特徵分解，除了定義特徵值及特徵向量之外，詳盡推導並闡述特徵性質。在本章末節介紹SINGULAR VALUE DECOMPOSITION (SVD)。

第八章為矩陣特徵分解之延伸，其兩大重點為：矩陣之對角化與喬登正則式 (Jordan canonical form)。

有關於矩陣之綜合應用描述於第九章，包含了二次式、矩陣之正定、矩陣之對角化在聯立微分方程式上的應用、積分上的應用，末節探討Cayley-Hamilton定理與RAYLEIGH'S QUOTIENT。

<章節目錄>

Chapter 1 向量分析
1-1　向量之基本運算
1-2　空間解析幾何

Chapter 2 行列式及反矩陣
2-1　矩陣的定義及特殊矩陣
2-2　矩陣的基本運算
2-3　行列式
2-4　反矩陣
2-5　向量函數的微分

Chapter 3 矩陣的LU分解
3-1　線性方程組
3-2　高斯消去法(Gauss-Jordan elimination method)
3-3　LU分解 (LU Decomposition)

Chapter 4 向量空間
4-1　向量空間
4-2　正交補空間
4-3　Norm 與內積空間
4-4　Gram-Schmidt 正交化過程與QR 分解

Chapter 5 線性映射
5-1　線性映射與相似變換
5-2　基底變換

Chapter 6 映射理論
6-1　映射理論
6-2　正交投影
6-3　鏡射與Householder 轉換
6-4　Curve fitting

Chapter 7 矩陣之特徵分解
7-1　特徵值及特徵向量
7-2　特殊矩陣及其性質
7-3　特徵性質
7-4　Singular Value Decomposition (SVD)

Chapter 8 對角化及喬登正則式
8-1　矩陣之對角化
8-2　喬登正則式(Jordan canonical form)
8-3　可對角化矩陣之函數
8-4　不可對角化矩陣之函數

Chapter 9 矩陣之綜合應用
9-1　雙線式及二次式
9-2　聯立微分方程式上的應用
9-3　積分上的應用
9-4　Cayley-Hamilton定理

參考資料