3D數學基礎：圖形和游戲開發, 2/e

目錄
第1章笛卡兒坐標系
1.1一維數學
1.2二維笛卡兒空間
1.2.1示例：假設的Cartesia城市
1.2.2任意二維坐標空間
1.2.3使用笛卡兒坐標指定二維中的位置
1.3三維笛卡兒空間
1.3.1新增維度和軸
1.3.2在三維中指定位置
1.3.3左手與右手坐標空間
1.3.4本書中使用的一些重要約定
1.4一些零散的基礎知識介紹
1.4 .1求和與求積的表示法
1.4.2區間符號
1.4.3角度、度數和弧度
1.4.4三角函數
1.4.5三角函數的恆等式
1.5練習

第2章矢量
2.1向量和其他無聊東西的數學定義
2.2矢量的幾何定義
2.3使用笛卡兒坐標指定矢量
2.3.1作為位移序列的矢量
2.3.2零矢量
2.4矢量與點
2.4.1相對位置
2.4.2點與矢量之間的關係
2.4.3一切都是相對的
2.5負矢量
2.5.1正式線性代數規則
2.5.2幾何解釋
2.6標量和矢量的乘法
2.6.1正式線性代數規則
2.6.2幾何解釋
2.7矢量的加法和減法
2.7.1正式線性代數規則
2.7.2幾何解釋
2.7.3從一點到另一點的位移矢量
2.8矢量大小
2.8.1正式線性代數規則
2.8.2幾何解釋
2.9單位矢量
2.9.1正式線性代數規則
2.9.2幾何解釋
2.10距離公式
2.11矢量點積
2.11.1正式線性代數規則
2.11.2幾何解釋
2.12矢量叉積
2.12.1正式線性代數規則
2.12.2幾何解釋
2.13線性代數恆等式
2.14練習

第3章多個坐標空間
3.1為什麼需要多個坐標空間？
3.2一些有用的坐標空間
3.2.1世界空間
3.2.2對象空間
3.2.3相機空間
3.2.4直立空間
3.3基矢量和坐標空間轉換
3.3.1雙重視角
3.3.2指定坐標空間
3.3.3基矢量
3.4嵌套坐標空間
3.5針對直立空間的再解釋
3.6練習

第4章矩陣簡介
4.1矩陣的數學定義
4.1.1矩陣維度和表示法
4.1.2方形矩陣
4.1. 3作為矩陣的矢量
4.1.4矩陣轉置
4.1.5矩陣與標量相乘
4.1.6兩個矩陣相乘
4.1.7矢量和矩陣相乘
4.1.8行與列矢量
4.2矩陣的幾何解釋
4.3線性代數的宏大圖景
4.4練習

第5章矩陣和線性變換
5.1旋轉
5.1.1在二維中的旋轉
5.1.2圍繞主軸的三維旋轉
5.1.3圍繞任意軸的三維旋轉
5.2縮放
5.2.1沿主軸縮放
5.2. 2任意方向的縮放
5.3正交投影
5.3.1投影到主軸或主平面上
5.3.2投影到任意線或平面上
5.4反射
5.5錯切
5.6組合變換
5.7變換的分類
5.7.1線性變換
5.7.2仿射變換
5.7.3可逆變換
5.7.4保持角度的變換
5.7.5正交變換
5.7.6剛體變換
5.7.7變換類型總結
5.8練習

第6章矩陣詳解
6.1矩陣的行列式
6.1.1關於2×2和3×3矩陣的行列式
6.1.2子矩陣行列式和余子式
6.1.3任意n×n矩陣的行列式
6.1.4行列式的幾何解釋
6.2逆矩陣
6.2 .1經典伴隨矩陣
6.2.2逆矩陣—正式線性代數規則
6.2.3逆矩陣—幾何解釋
6.3正交矩陣
6.3.1正交矩陣—正式線性代數規則
6.3.2正交矩陣—幾何解釋
6.3.3矩陣的正交化
6.4關於4×4齊次矩陣
6.4.1關於四維齊次空間
6.4.2關於4×4平移矩陣
6.4.3一般仿射變換
6.5關於4×4矩陣和透視投影
6.5.1針孔相機
6.5.2透視投影矩陣
6.6練習

第7章極坐標系
7.1關於二維極坐標空間
7.1.1使用二維極坐標定位點
7.1.2別名
7.1.3關於二維中笛卡兒坐標和極坐標之間的變換
7.2為什麼有人會使用極坐標？
7.3關於三維極坐標空間
7.3.1圓柱坐標
7.3.2球面坐標
7.3.3在三維虛擬世界中有用的一些極坐標約定
7.3.4球面坐標的別名
7.3.5球面坐標和笛卡兒坐標之間的轉換
7.4使用極坐標指定矢量
7.5練習

第8章三維旋轉
8.1 “定向”含義探微
8.2矩陣形式
8.2.1矩陣的選擇
8.2.2方向餘弦矩陣
8.2.3矩陣形式的優點
8.2.4矩陣形式的缺點
8.2.5矩陣形式小結
8.3歐拉角
8.3.1歐拉角約定
8.3.2其他歐拉角約定
8.3.3歐拉角的優點
8.3.4歐拉角的缺點
8.3.5歐拉角小結
8.4軸-角和指數映射表示方式
8.5四元數
8.5.1四元數表示法
8.5.2這四個數字的意思
8.5.3四元數變負
8.5.4單位四元數
8.5.5四元數的大小
8.5.6四元數的共軛和逆
8.5.7四元數乘法
8.5.8四元數的“差”
8.5.9四元數點積
8.5.10四元數的對數、指數和標量乘法
8.5.11四元數指數
8.5.12四元數插值
8.5.13四元數的優缺點
8.5.14作為複數的四元數
8.5.15四元數概要
8.6方法比較
8.7表示方式之間的轉換
8.7.1將歐拉角轉換為矩陣
8.7.2將矩陣轉換為歐拉角
8.7.3將四元數轉換為矩陣
8.7.4將矩陣轉換為四元數
8.7.5將歐拉角轉換為四元數
8.7.6將四元數轉換為歐拉角
8.8練習

第9章幾何圖元
9.1表示技術
9.2直線和光線
9.2.1光線
9.2.2直線的特殊二維表示
9.2.3表示方式之間的轉換
9.3球體和圓形
9.4包圍盒
9.4.1關於AABB的表示方式
9.4.2計算AABB
9.4.3關於AABB與包圍球
9.4.4變換AABB
9.5平面
9.5.1平面方程：平面的隱式定義
9.5.2使用3個點定義一個平面
9.5.3超過3個點的“最佳擬合”平面
9.5.4點到平面的距離
9.6三角形
9.6.1表示法
9.6.2三角形的面積
9.6.3重心空間
9.6.4計算重心坐標
9.6.5特殊點
9.7多邊形
9.7.1簡單多邊形和復雜多邊形
9.7.2凸多邊形和凹多邊形
9.7.3三角剖分和扇形分割
9.8練習

第10章三維圖形的數學主題
10.1圖形工作原理
10.1.1兩種主要的渲染方法
10.1.2描述表面特性： BRDF
10.1.3顏色和輻射度測量簡介
10.1.4渲染方程
10.2關於三維視圖
10.2.1指定輸出窗口
10.2.2像素寬高比
10.2.3視錐體
10.2.4視野和縮放
10.2.5正交投影
10.3坐標空間
10.3.1模型、世界和相機空間
10.3.2裁剪空間和裁剪矩陣
10.3.3裁剪矩陣：準備投影
10.3.4裁剪矩陣：應用縮放並準備裁剪
10.3.5屏幕空間
10.3.6坐標空間概述
10.4多邊形網格
10.4.1索引三角網格
10.4.2表面法線
10.5紋理映射
10.6標準局部照明模型
10.6.1標準照明公式：概述
10.6.2鏡面反射分量
10.6.3漫反射分量
10.6.4環境光和發光分量
10.6.5照明方程：綜合考慮各分量
10.6.6標準模型的局限性
10.6.7平面著色和Gouraud著色
10.7光源
10.7.1標準抽象光類型
10.7.2光衰減
10.7.3關於Doom風格體積光
10.7.4預先計算的照明
10.8骷髏動畫
10.9凹凸映射
10.9.1切線空間
10.9.2計算切線空間基矢量
10.10實時圖形管道
10.10.1緩衝區
10.10.2傳遞幾何體
10.10.3頂點級別的操作
10.10.4裁剪
10.10.5背面剔除
10.10.6光柵化、著色和輸出
10.11一些HLSL示例
10.11.1貼花著色和HLSL基礎知識
10.11.2基礎的每個像素Blinn-Phong照明
10.11.3使用Gouraud著色算法
10.11.4凹凸映射
10.11.5蒙皮網格
10.12深入閱讀建議
10.13練習

第11章力學1：線性運動學和微積分
11.1概述
11.1.1忽略的東西
11.1.2關於宇宙的一些有用的謊言
11.2基本數量和單位
11.3平均速度
11.4瞬時速度和導數
11.4.1極限參數和導數的定義
11.4.2導數示例
11.4.3通過定義計算導數
11.4.4導數的表示法
11.4.5一些求導法則和快捷方式
11.4.6泰勒級數的一些特殊函數的導數
11.4.7鍊式法則
11.5加速度
11.6恆定加速度下的運動
11.7積分
11.7.1積分的例子
11.7.2導數與積分之間的關係
11.7.3微積分小結
11.8勻速圓周運動
11.8.1平面內的勻速圓周運動
11.8.2三維中的勻速圓周運動
11.9練習

第12章力學2：線性和旋轉動力學
12.1牛頓的3個基本定律
12.1.1牛頓的前兩個定律：力與質量
12.1.2慣性參考系
12.1.3牛頓第三定律
12.2一些簡單的力定律
12.2. 1重力
12.2.2摩擦力
12.2.3彈簧力
12.3動量
12.3.1動量守恆
12.3.2質心
12.4衝擊力和碰撞
12.4.1完全非彈性碰撞
12.4.2一般碰撞響應
12.4.3關於Dirac Delta
12.5旋轉動力學
12.5.1旋轉運動學
12.5.2關於二維旋轉動力學
12.5.3關於三維旋轉動力學
12.5.4與旋轉的碰撞響應
12.6實時剛體模擬器
12.6.1物理引擎狀態變量
12.6.2高級概述
12.6.3歐拉積分
12.6.4旋轉的積分
12.7深入閱讀建議
12.8練習

第13章三維曲線
13.1參數多項式曲線
13.1.1參數曲線
13.1.2多項式曲線
13.1 .3矩陣表示法
13.1.4兩種簡單的曲線
13.1.5單項式端點
13.1.6速度和切線
13.2多項式插值
13.2.1艾特肯的算法
13.2.2拉格朗日基多項式
13.2.3多項式插值匯總
13.3埃爾米特曲線
13.4貝塞爾曲線
13.4.1關於de Casteljau算法
13.4.2伯恩斯坦基多項式
13.4.3貝塞爾導數及其與埃爾米特形式的關係
13.5細分
13.5.1細分單項式曲線
13.5.2細分貝塞爾曲線
13.6樣條曲線
13.6.1遊戲規則
13.6.2節點
13.7埃爾米特和貝塞爾樣條曲線
13.8連續性
13.8.1參數連續性
13.8.2幾何連續性
13.8.3曲線平滑度
13.9自動切線控制
13.9.1 Catmull-Rom樣條
13.9.2 TCB樣條
13.9.3端點條件
13.10練習

第14章後記
14.1接下來做什麼
14.2練習
附錄A幾何測試
A.1在二維隱式直線上的最近點
A.2參數化光線上的最近點
A.3平面上的最近點
A.4圓或球體上的最近點
A .5軸向對齊的包圍盒中的最近點
A.6相交測試
A.7在二維中兩條隱式直線的交點
A.8在三維中兩條光線的交點
A.9光線和平面的交點
A.10軸向對齊的包圍盒與平面的交點
A.11個平面的交點
A.12光線與圓或球體的交點
A.13兩個圓或球的交點
A.14球體與軸向對齊的包圍盒的交點
A.15球體與平面的交點
A.16光線與三角形的交點
A.17兩個AABB的交點
A.18光線與AABB的交點
附錄B練習答案
B.1第1章
B.2第2章
B.3第3章
B.4第4章
B.5第5章
B.6第6章
B.7第7章
B.8第8章
B. 9第9章
B.10第10章
B.11第11章
B.12第12章
B.13第13章
參考文獻