機器學習中的數學修煉

 

目錄

 

 

第1章概率論基礎

 

1.1概率論的基本概念

 

1.2隨機變量數字特徵

 

1.2.1期望

 

1.2.2方差

 

1.2.3矩與矩母函數

 

1.2.4協方差與協方差矩陣

 

1.3基本概率分佈模型

 

1.3.1離散概率分佈

 

1.3.2連續概率分佈

 

1.3.3在R語言中使用內嵌分佈

 

1.4概率論中的重要定理

 

1.4.1大數定理

 

1.4.2中心極限定理

 

1.5經驗分佈函數

 

 

第2章最優化基礎

 

2.1泰勒公式

 

2.2里塞矩陣

 

2.3凸函數與詹森不等式

 

2.3.1凸函數的概念

 

2.3.2詹森不等式及其證明

 

2.3.3詹森不等式的應用

 

2.4泛函與抽象空間

 

2.4.1線性空間

 

2.4.2距離空間

 

2.4.3賦範空間

 

2.4.4巴拿赫空間

 

2.4.5內積空間

 

2.4.6希爾伯特空間

 

2.5從泛函到變分法

 

2.5.1理解泛函的概念

 

2.5.2關於變分概念

 

2.5.3變分法的基本方程

 

2.5.4哈密頓原理

 

2.5.5等式約束下的變分

 

 

第3章統計推斷

 

 

 

 

 

3.1隨機採樣

 

3.2參數估計

 

3.2.1參數估計的基本原理

 

3.2.2單總體參數區間估計

 

3.2.3雙總體均值差的估計

 

3.2.4雙總體比例差的估計

 

3.3假設檢驗

 

3.3.1基本概念

 

3.3.2兩類錯誤

 

3.3.3均值檢驗

 

3.4最大似然估計

 

3.4.1最大似然法的基本原理

 

3.4.2求最大似然估計的方法

 

3.4.3最大似然估計應用舉例

 

 

第4章採樣方法

 

4.1蒙特卡洛法求定積分

 

4.1.1無意識統計學家法則

 

4.1.2投點法

 

4.1.3期望法

 

4.2蒙特卡洛採樣

 

4.2.1逆採樣

 

4.2.2博克斯穆勒變換

 

4.2.3拒絕採樣與自適應拒絕採樣

 

4.3矩陣的極限與馬爾可夫鏈

 

4.4查普曼柯爾莫哥洛夫等式

 

 

4.5馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法

 

4.5.1重要性採樣

 

4.5.2馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法的基本概念

 

4.5.3米特羅波利斯黑斯廷斯算法

 

4.5.4吉布斯採樣

 

 

第5章一元線性回歸

 

5.1回歸分析的性質

 

5.2回歸的基本概念

 

5.2.1總體的回歸函數

 

5.2.2隨機乾擾的意義

 

5.2.3樣本的回歸函數

 

5.3回歸模型的估計

 

5.3.1普通最小二乘法原理

 

5.3.2一元線性回歸的應用

 

5.3.3經典模型的基本假定

 

5.3.4總體方差的無偏估計

 

5.3.5估計參數的概率分佈

 

5.4正態條件下的模型檢驗

 

5.4.1擬合優度的檢驗

 

5.4.2整體性假定檢驗

 

5.4.3單個參數的檢驗

 

5.5一元線性回歸模型預測

 

5.5.1點預測

 

5.5.2區間預測

 

 

第6章多元線性回歸

 

6.1多元線性回歸模型

 

6.2多元回歸模型估計

 

6.2.1最小二乘估計量

 

6.2.2多元回歸實例

 

6.2.3總體參數估計量

 

6.3從線性代數角度理解最小二乘

 

6.3.1最小二乘問題的通解

 

6.3.2最小二乘問題的計算

 

6.4多元回歸模型檢驗

 

6.4.1線性回歸的顯著性

 

6.4.2回歸系數的顯著性

 

6.5多元線性回歸模型預測

 

6.6格蘭傑因果關系檢驗

 

 

第7章線性回歸進階

 

7.1更多回歸模型函數形式

 

7.1.1雙對數模型以及生產函數

 

7.1.2倒數模型與菲利普斯曲線

 

7.1.3多項式回歸模型及其分析

 

7.2回歸模型的評估與選擇

 

7.2.1嵌套模型選擇

 

7.2.2赤池信息準則

 

7.2.3逐步回歸方法

 

7.3現代回歸方法的新進展

 

7.3.1多重共線性

 

7.3.2嶺回歸

 

7.3.3從嶺回歸到LASSO

 

7.3.4正則化

 

 

第8章邏輯回歸與最大熵模型

 

8.1邏輯回歸

 

8.2牛頓法解Logistic回歸

 

8.3多元邏輯回歸

 

8.4最大熵模型

 

8.4.1最大熵原理

 

8.4.2約束條件

 

8.4.3模型推導

 

8.4.4最大熵模型的最大似然估計

 

 

第9章聚類分析

 

9.1聚類的概念

 

9.2k均值算法

 

9.2.1距離度量

 

9.2.2算法描述

 

9.2.3應用實例

 

9.3最大期望算法

 

9.3.1算法原理

 

9.3.2收斂探討

 

9.4高斯混合模型

 

9.4.1模型推導

 

9.4.2應用實例

 

9.5密度聚類與DBSCAN算法

 

 

第10章支持向量機

 

10.1線性可分的支持向量機

 

10.1.1函數距離與幾何距離

 

10.1.2最大間隔分類器

 

10.1.3拉格朗日乘數法

 

10.1.4對偶問題的求解

 

10.2鬆弛因子與軟間隔模型

 

10.3非線性支持向量機方法

 

10.3.1從更高維度上分類

 

10.3.2非線性核函數方法

 

10.3.3機器學習中的核方法

 

10.3.4默瑟定理

 

10.4對數據進行分類的實踐

 

10.4.1基本建模函數

 

10.4.2分析建模結果

 

 

第11章貝葉斯推斷與概率圖模型

 

11.1貝葉斯公式與邊緣分佈

 

11.2貝葉斯推斷中的重要概念

 

11.2.1先驗概率與後驗概率

 

11.2.2共軛分佈

 

11.3樸素貝葉斯分類器

 

11.4貝葉斯網絡

 

11.4.1基本結構單元

 

11.4.2模型推理

 

11.5貝葉斯推斷的應用示例

 

11.6隱馬爾可夫模型

 

11.6.1隨機過程

 

11.6.2從時間角度考慮不確定性

 

11.6.3前向算法

 

11.6.4維特比算法

 

 

第12章降維與流形學習

 

12.1主成分分析

 

12.2奇異值分解

 

12.2.1一個基本的認識

 

12.2.2為什麽可以做SVD

 

12.2.3SVD與PCA的關系

 

12.2.4應用示例與矩陣偽逆

 

12.3多維標度法

 

 

第13章決策樹

 

13.1決策樹基礎

 

13.1.1Hunt算法

 

13.1.2基尼測度與劃分

 

13.1.3信息熵與信息增益

 

13.1.4分類誤差

 

13.2決策樹進階

 

13.2.1ID3算法

 

13.2.2C4.5算法

 

13.3分類回歸樹

 

13.4決策樹剪枝

 

13.4.1沒有免費午餐定理

 

13.4.2剪枝方法

 

13.5分類器的評估

 

 

第14章人工神經網絡

 

14.1從感知機開始

 

14.1.1感知機模型

 

14.1.2感知機學習

 

14.1.3多層感知機

 

14.2基本神經網絡

 

14.2.1神經網絡結構

 

14.2.2符號標記說明

 

14.2.3後向傳播算法

 

14.3神經網絡實踐

 

14.3.1核心函數介紹

 

14.3.2應用分析實踐

 

 

第15章集成學習

 

15.1集成學習的理論基礎

 

15.2Bootstrap方法

 

15.3Bagging與隨機森林

 

15.4Boosting與AdaBoost

 

 

附錄A信息論基礎

 

附錄B

 

參考文獻