有趣的矩陣：看得懂又好看的線性代數

第1章 雞兔同籠：矩陣與線性方程組的關係 1
1.1　列算式解雞兔同籠問題 2
1.1.1　《孫子算經》中記載的解法 2
1.1.2　小學課堂上的解法 2
1.2　用方程式的思想解雞兔同籠問題 2
1.2.1　用二元一次方程組解雞兔同籠問題 2
1.2.2　解方程組的方法較程序化 3
1.2.3　什麼是線性方程組 4
1.3　用數的表格－「矩陣」表示線性方程組 4
1.3.1　用數字表格簡化表示線性方程組 4
1.3.2　一種新的數學符號－矩陣誕生了！ 5
1.4　用矩陣法解線性方程組 7
1.4.1　用矩陣表示線性方程組的解題過程 7
1.4.2　矩陣的一種運算－初等行變換 7
1.4.3　矩陣的初等行變換與方程組的等價變換 8
1.5　用矩陣解決升級版雞兔同籠問題 9
1.5.1　升級版雞兔同籠問題—獸禽問題 9
1.5.2　更難的問題－王婆賣瓜問題 10
1.5.3　王婆賣瓜問題的思考－出現多個解時，怎麼選擇？ 11
1.6　怎麼吃健康－客製化健康食譜 12
1.6.1　客製化食譜步：確定攝取量 13
1.6.2　客製化食譜第二步：選定食物，建立線性方程組 13
1.6.3　客製化食譜第三步：求解線性方程組 14
1.6.4　訂製食譜後一步：選擇一組合適的食物搭配 15
1.6.5　什麼是規劃問題 16
1.7　我們的生活離不開線性方程組 17
第2章 數字遊戲：好玩的矩陣 18
2.1　矩陣就是數位公寓 19
2.1.1　矩陣的尺寸 19
2.1.2　數位公寓的門牌號碼 20
2.2　把矩陣翻轉一下，會怎麼樣？ 21
2.2.1　怎樣翻轉矩陣 21
2.2.2　翻轉後不變的方陣 23
2.3　各種特殊的方陣 24
2.3.1　三角矩陣就是數字三角形 24
2.3.2　對角矩陣 25
2.4　幻方遊戲你玩過嗎？ 26
2.4.1　幻方是中國人的發明 26
2.4.2　利用矩陣求解一個三階幻方 28
2.4.3　三階幻方的特徵 30
2.4.4　利用矩陣求解[n]階幻方的想法 31
2.5　數獨也是矩陣遊戲 32
2.5.1　令歐拉著迷的拉丁方陣 32
2.5.2　數獨遊戲 34
2.5.3　用分塊矩陣的思想填入數獨矩陣 35
第3章 經營水果店：經營管理中的矩陣 38
3.1　用矩陣加法計算總銷量 39
3.1.1　總銷量計算問題 39
3.1.2　矩陣的加法不能隨便做 40
3.1.3　用矩陣的減法找回遺失的報表 42
3.1.4　矩陣的加、減法與實數的加、減法 43
3.1.5　幻方矩陣的加法 44
3.2　用數乘矩陣解決銷售量、損耗量問題 45
3.2.1　利用數與矩陣的乘法運算制定銷售計劃 45
3.2.2　促銷折扣、水果損耗量計算中的矩陣運算 46
3.2.3　數乘矩陣的進一步探究 47
3.2.4　數乘矩陣運算的運算法則 48
3.2.5　幻方矩陣的數乘 50
3.3　用矩陣乘法進行更複雜的經營管理 50
3.3.1　阿明的精品水果禮盒業務 50
3.3.2　用矩陣乘矩陣算帳 51
3.3.3　簡單的矩陣乘法 53
3.3.4　矩陣乘法真好用！ 54
3.3.5　單位矩陣是沒有美顏功能的素顏相機 55
3.4　矩陣乘法的顯微鏡底下看線性方程組 55
3.4.1　線性方程組的真面目 55
3.4.2　橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同 56
3.5　矩陣乘法中的座位號碼是不可以交換的！ 57
3.5.1　交換位置，可能就玩不到一起了！ 57
3.5.2　為什麼矩陣乘法不滿足交換律？ 59
3.5.3　什麼樣的矩陣乘法滿足交換律？ 60
3.5.4　總是可交換的矩陣 61
3.5.5　可逆的方陣 61
3.6　一個藤上N個瓜－矩陣的連乘 62
3.6.1　雖然不滿足交換律，矩陣乘法還是可以彈性計算的 62
3.6.2　矩陣有平方嗎？ 63
3.6.3　不忘初心的冪等矩陣 64
3.7　水果店老闆的市場調查 65
3.7.1　阿明要在大學城裡開水果店 65
3.7.2　預測水果店的市佔率 66
3.8　神出鬼沒的零矩陣 67
3.8.1　遇上它們，就成了它們──它們是誰？ 67
3.8.2　沒遇上它們，也可能變成它們－神出鬼沒的零矩陣 68
第4章 數位照片：矩陣與PS技術 70
4.1　對計算機來說，照片就是矩陣 71
4.1.1　組成數位照片的小單元－像素 71
4.1.2　一張黑白照片=一個矩陣 72
4.1.3　一張彩色照片=三個矩陣 73
4.2　修圖其實是做數學計算題 75
4.2.1　美顏App用矩陣運算精修你的照片 75
4.2.2　為照片加上濾鏡 76
4.2.3　為照片加浮水印 78
4.3　怎樣給照片「瘦身」？ 79
4.3.1　壓縮一張照片的數學原理是什麼？ 79
4.3.2　隔一行刪一行－簡單的壓縮演算法 80
4.3.3　矩陣的乘法分解－常用的SVD壓縮演算法 80
4.3.4　視訊壓縮也是矩陣運算 81
4.3.5　壓縮的反操作－照片恢復 81
4.4　改變人類生活的人工智慧演算法離不開矩陣 83
4.4.1　人工智慧要讓電腦像人類一樣思考 83
4.4.2　一個水果店的例子 85
4.4.3　人工神經網路的結構 86
4.4.4　神經網路的必經之路－訓練與學習 87
4.4.5　電腦認人與你認人的過程是類似的 88
4.4.6　熟能生巧－數百萬次的訓練，才能做到過目不忘 90
4.4.7　深度學習，不僅僅能學認人 92
第5章 電腦繪畫：用矩陣創造藝術 93
5.1　意義非凡的平面直角座標系 94
5.1.1　認識平面直角座標系 94
5.1.2　座標係可以讓函數和方程式有「顏」 95
5.1.3　用幾何解決雞兔同籠問題 96
5.2　電腦繪圖是怎麼做到的？ 97
5.2.1　計算機是怎麼畫出一條線段的？ 98
5.2.2　計算機是怎麼畫圓的？ 100
5.2.3　較好的畫圓思路 102
5.2.4　計算機繪製幾何圖形的整體思路 103
5.3　字體和藝術字—幾何圖形和線性變換 103
5.3.1　不同的字體，計算機是如何顯示出來的？ 103
5.3.2　改變字元的字號，計算機是怎麼做的？ 104
5.3.3　把一個字元變成斜體的線性變換－剪切變換 106
5.3.4　藝術字體中的鏡像變換，其實也是矩陣乘法 108
5.4　從心形線到四葉草－旋轉變換的魔力 110
5.4.1　怎麼畫心形線和四葉草？ 110
5.4.2　旋轉變換的數學原理 112
5.4.3　平面幾何圖形的線性變換 113
5.5　計算機怎麼製作電影特效？ 114
5.5.1　悸動的心－二維動畫特效示範 114
5.5.2　海嘯、暴風雪、爆炸的特效，電腦是怎麼做到的？ 115
第6章 加密解密：矩陣與密碼 116
6.1　用小學數學運算對銀行卡密碼加密 117
6.1.1　設計要求－安全、準確地傳遞訊息 117
6.1.2　用十以內整數加法設計的加密演算法 118
6.1.3　用乘法表設計的加密演算法 120
6.1.4　更複雜的加密演算法 121
6.2　怎麼加密文字訊息？ 121
6.2.1　古羅馬戰神凱撒的秘密武器－凱撒密碼 121
6.2.2　凱撒密碼的數學原理 122
6.2.3　用乘法原理對文字訊息進行加密 124
6.2.4　使用統計規律破解加密演算法 125
6.2.5　自備「鑰匙」的加密演算法 125
6.3　用矩陣乘法加密你的銀行卡密碼 127
6.3.1　用矩陣乘法加密數字明文 127
6.3.2　這樣加密可靠嗎？ 128
6.3.3　怎麼解密數位資訊？ 129
6.3.4　解密流程怎麼改進？ 130
6.3.5　一些密碼學乾貨 131
6.3.6　請你來設計一個加密演算法吧！ 133
6.4　希爾密碼－用矩陣乘法加密文字訊息 134
6.4.1　怎樣設計希爾密碼的加密矩陣？ 134
6.4.2　為你的日記設計希爾加密演算法 135
6.4.3　怎樣得到希爾密碼的解密矩陣？ 136
6.4.4　希爾密碼的破解 137
6.4.5　動態的希爾密碼 137
第7章 互聯網：矩陣的世界 139
7.1　用矩陣表示你的社會網絡 140
7.1.1　繪製一張微信好友關係圖 140
7.1.2　繪製一張微博好友關係圖 141
7.1.3　你有幾個微信好友？幾個微博粉絲？ 143
7.1.4　代表真實社會網絡的矩陣非常大 145
7.2　認識一個陌生人，少需要幾個人介紹？ 145
7.2.1　透過社交網絡，透過一個中間人認識另一個人 145
7.2.2　兩個人相識，多需要幾個中間人？ 147
7.2.3　真實世界－全世界任何兩個人相識，只需要六個人 148
7.3　玩「見面一半」的遊戲，能實現「共同富裕」嗎？ 149
7.3.1　財富分佈不均衡的人類社會 149
7.3.2　實現財富平均分配的一種方法 149
7.4　網頁搜尋的原理是什麼？ 152
7.4.1　網頁搜尋結果是隨機排序的嗎？ 152
7.4.2　早期的網頁搜尋演算法 152
7.4.3　因一個演算法而誕生的高科技公司 153
7.4.4　谷歌公司的網頁排序新演算法－PageRank演算法 153
7.4.5　PageRank演算法的數學模型 154
7.4.6　網頁的得分和使用者開啟的個網頁有關係嗎？ 156
7.4.7　網頁的得分與超連結關係圖密不可分 157
7.4.8　演算法比你還懂你 159
7.5　谷歌每天為數百萬億個網頁排序，計算量大嗎？ 160
7.5.1　網頁之間的連結關係圖有多大？ 160
7.5.2　網頁之間的鏈接，和人類社會網絡很像 160
7.5.3　面對龐大的計算量，該怎麼辦？ 162
7.5.4　計算工程分包自動化－MapReduce演算法 163
第8章 田忌賽馬：賽局理論中的矩陣 165
8.1　田忌賽馬與賽局理論 166
8.1.1　田忌賽馬的故事 166
8.1.2　用矩陣表示賽馬結果 166
8.1.3　賽局理論的發展史 168
8.2　如果齊王也懂賽局理論 168
8.2.1　一場賽馬比賽的所有可能結果有哪些？ 168
8.2.2　下一次賽馬，田忌還能繼續贏球嗎？ 170
8.2.3　用矩陣表示賽局雙方的收益 171
8.2.4　策略與納許均衡 172
8.3　一個「雙輸」的博弈－囚徒博弈 174
8.3.1　什麼是囚徒博弈？ 174
8.3.2　囚徒困境－為了避免壞的結局，錯過了更好的結局 174
8.3.3　現實中的囚徒困境 175
8.3.4　囚徒困境可以改變嗎？ 176
8.4　一個「雙贏」的賽局－雪堆賽局 177
8.4.1　什麼是雪堆賽局？ 177
8.4.2　什麼時候不鏟雪？ 179
8.4.3　什麼時候鏟雪？ 180
8.4.4　歷史故事中的「雪堆博弈」 181
8.5　為什麼俗話說「久賭必輸」？ 182
8.5.1　一個「看起來公平」的簡單模型 182
8.5.2　一個貪心的賭徒 184
8.5.3　賭博的潛在不公：莊家的贏球稍大 186