數學之旅：數學的前世、今生與未來

第一章 數學與數學文化 1
1.1 什麽是數學 1
1.1.1 對數學的誤解、畏懼和偏見 1
1.1.2 數學的內涵 3
1.1.3 數學的特點 6
1.1.4 數學的歷史發展階段 8
1.2 什麽是數學文化 8
1.3 數學應用實例 11
1.3.1 柯尼斯堡七橋問題 11
1.3.2 抽屜原理 14
1.3.3 海王星的發現 15
1.4 數學與國家競爭力、個人發展 16
思考題 19
第二章 萬物皆數—數的起源與發展 20
2.1 數字的起源和記錄方式 20
2.2 早期數字系統 22
2.2.1 古埃及象形數字 22
2.2.2 巴比倫楔形數字 25
2.2.3 中國甲骨文數字 29
2.2.4 古希臘阿提卡數字 31
2.2.5 中國籌算數碼 31
2.2.6 瑪雅數字 32
2.3 “名不副實”的阿拉伯數字 33
2.4 幻方和元幻方鐵板 35
2.5 誰說數學不浪漫—用數字傳情達意 41
2.5.1 古代才女卓文君的數字家書 41
2.5.2 現代中國鐵路建設施工者的數字家書 43
思考題 44
第三章 數系的擴充 45
3.1 分數與負數 45
3.1.1 分數 45
3.1.2 負數 48
3.2 畢達哥拉斯學派、有理數和無理數 49
3.2.1 有理數是有道理的數嗎 49
3.2.2 畢達哥拉斯學派和無理數 50
3.3 復數與四元數 55
3.3.1 “虛無縹緲”的復數 55
3.3.2 四元數的發明和數系擴充的終結 57
3.4 伽羅瓦與抽象代數 59
思考題 60
第四章 沒有王者之路—歐氏幾何 61
4.1 歐氏幾何 61
4.1.1 幾何學的起源 61
4.1.2 神聖幾何—勾股定理和柏拉圖立體 64
4.1.3 亞歷山大圖書館與歐幾里得的《幾何原本》 67
4.1.4 數學繆斯—希帕提婭 72
4.2 《幾何原本》在中國的傳播 75
4.3 幾何魔法—正多邊形尺規作圖和圓周率的計算 79
4.3.1 正多邊形尺規作圖 79
4.3.2 圓周率的計算 83
4.3.3 圓周率日 86
思考題 88
第五章 向歐幾里得發起的挑戰—非歐幾何的創立與發展 89
5.1 幾何的代數化—解析幾何 89
5.1.1 我思故我在—笛卡兒和解析幾何 90
5.1.2 業餘數學之王—費馬和解析幾何 93
5.2 春天一到，紫羅蘭競相開放—非歐幾何的誕生 95
5.2.1 對歐幾里得的懷疑—第五公設的獨立性 95
5.2.2 秘而不宣的數學王子—高斯和非歐幾何 97
5.2.3 命運多舛的執著和信念—雅諾什·鮑耶和非歐幾何 100
5.2.4 幾何學界的哥白尼—羅巴切夫斯基和非歐幾何 103
5.2.5 雙曲幾何的後續發展和非歐幾何的意義 105
5.3 打開高維世界的鑰匙—黎曼幾何 108
5.3.1 英年早逝的最具創新精神的數學家—黎曼 108
5.3.2 黎曼幾何的創立及發展 110
5.3.3 宇宙的琴弦—引力波 114
思考題 117
第六章 誰與爭鋒—微積分的前世今生 118
6.1 微積分的前世—古代樸素的微積分思想 118
6.2 微積分誕生的前夜 122
6.2.1 第谷與開普勒 122
6.2.2 卡瓦列里 125
6.2.3 費馬 127
6.2.4 巴羅 128
6.3 站在巨人的肩膀上—牛頓 129
6.4 歐洲大陸理性主義的高峰—萊布尼茨 135
6.5 微積分發明權的紛爭 141
思考題 145
第七章 為了人類心智的榮耀—數學悖論和數學危機 146
7.1 悖論、時間旅行與廣義相對論 146
7.1.1 悖論 146
7.1.2 外祖母悖論與時間旅行 148
7.2 數學悖論與三次數學危機 152
7.2.1 數學悖論 152
7.2.2 希帕索斯悖論和第一次數學危機 153
7.2.3 貝克萊悖論和第二次數學危機 155
7.2.4 羅素悖論和第三次數學危機 158
思考題 162
第八章 薪火相傳—中國數學 163
8.1 中國古代和近現代數學 163
8.1.1 隋唐以前的中國數學 163
8.1.2 隋唐時期的中國數學 165
8.1.3 宋元時期的中國數學 167
8.1.4 明清時期的中國數學 172
8.1.5 新民主主義革命和新中國成立初期的中國數學 174
8.2 人民數學家—華羅庚 175
8.2.1 歸去來兮 175
8.2.2 優選法 180
8.3 現代微分幾何之父—陳省身 183
8.4 摘取數學皇冠上明珠的數學家 190
8.4.1 哥德巴赫猜想 190
8.4.2 篩法理論的光輝頂點 193
思考題 195
第九章 尋找隱藏的維度—分形幾何 196
9.1 英國海岸線有多長—分形幾何的創立 196
9.2 魔鬼的聚合物—奇妙的分形 202
9.2.1 分形的特徵 202
9.2.2 德拉姆曲線 204
9.2.3 科赫雪花曲線 205
9.2.4 曼德布洛特集 207
9.2.5 謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基三角形與門格海綿 209
9.3 分形的應用 212
思考題 214
第十章 蝴蝶效應之謎—混沌 215
10.1 三體問題 215
10.2 蝴蝶效應—洛倫茲的意外發現 217
10.3 混沌的特徵與應用 222
10.3.1 混沌的特徵 222
10.3.2 混沌的應用 227
思考題 231
第十一章 會下金蛋的母雞—數學猜想 232
11.1 希爾伯特的23個數學問題 232
11.2 千禧年七大數學難題 247
思考題 255
第十二章 數學之用 256
12.1 數學與音樂 256
12.1.1 畢氏調律與五音十二律 256
12.1.2 音樂背後的數學 259
12.2 從麥克斯韋到香農—數學與無線電通信 264
12.2.1 麥克斯韋與電磁波 265
12.2.2 香農與無線電通信 267
12.3 數學與人工智能 269
12.3.1 人工智能之父與圖靈測試 270
12.3.2 達特茅斯會議 271
12.3.3 人機博弈與機器學習 273
12.3.4 機器人 278
12.3.5 機器人三定律 281
12.3.6 吳文俊的數學人生與數學機械化 282
思考題 285
第十三章 第四次工業革命與數學的未來 286
13.1 第四次工業革命 286
13.2 中國科技之光 290
13.2.1 極化碼與5G通信 290
13.2.2 超級電腦 294
13.2.3 量子通信 297
13.3 仰望星空 301
13.3.1 暗淡藍點與宇宙 301
13.3.2 中國天問 307
13.4 數學的未來 311
思考題 314
參考文獻 315