高考導數探秘：解題技巧與策略

董晟渤，本科就读于西安交通大学数学与统计学院，以专业第一的成绩保送北京大学数学科学学院，目前是概率论与数理统计专业在读直博生。知乎数学话题答主，目前有15万的关注与21万的收藏，多篇高中数学相关文章获得了过千的点赞与收藏。有三年辅导高中生学数学的经验，主要讲解内容即为本书内容，并获得学生的一致好评。多名学生成功在数学上提分，被西安交通大学、厦门大学等985院校录取。

第 1 講 函數與導數的定義 1

1.1　函數的定義與性質　1

1.1.1　定義與常用函數1

1.1.2　函數的基本性質2

1.1.3　函數的零點問題5

1.1.4　函數定義的推廣　5

1.2　導數的定義與性質　6

1.2.1　定義與基本性質6

1.2.2　取對數求導法與隱函數求導法　8

1.3　導數的應用　9

1.3.1　單調性與極值點9

1.3.2　凹凸性與拐點　12

1.3.3　證明不等式　15

1.4　課後練習　17

第　2 講 分類討論與分離變量　18

2.1　分類討論的常見策略18

2.1.1　矛盾區間法　18

2.1.2　端點效應　19

2.1.3　必要性探路　20

2.1.4　多次求導　22

2.2　分離變量的策略與缺陷　24

2.2.1　分離變量的思路　24

2.2.2　洛必達法則　26

2.2.3　繞開洛必達法則　28

2.3　解題中的因式分解29

2.3.1　多項式的除法　29

2.3.2　二次方程的十字相乘30

2.4　課後練習　32

第　3 講 函數不等式　33

3.1　常見函數不等式33

3.1.1　基本函數不等式　33

3.1.2　指數函數不等式　35

3.1.3　對數函數不等式　38

3.1.4　對數分式不等式　40

3.1.5　對數分式不等式的積分證法　43

3.1.6　對數平均不等式　43

3.1.7　三角函數不等式45

3.2　函數不等式的應用　46

3.2.1　巧用 “放縮” 的手段　46

3.2.2　放縮取點的技巧　47

3.3　自然常數 e 與指數函數　48

3.3.1　復利問題與指數函數48

3.3.2　微分方程與指數函數　49

3.4　函數的展開式及其應用　49

3.5　課後練習　53

第　4 講 多變量問題　54

4.1　偏導數及其應用54

4.1.1　偏導數的引入與意義54

4.1.2　偏導數的應用　55

4.1.3　拉格朗日乘子法　59

4.1.4　存在型多變量問題　60

4.2　有關系的雙變量問題　60

4.2.1　利用齊次建立關系　60

4.2.2　利用韋達定理建立關系62

4.3　函數的中值定理及其應用　63

4.4　課後練習　66

第　5 講 極值點偏移　67

5.1　極值點偏移的基本處理方法　67

5.1.1　確定參數的取值範圍67

5.1.2　對稱化構造　68

5.1.3　對數平均不等式　69

5.1.4　換元與消元　70

5.2　極值點偏移的變形　72

5.2.1　不同的極值點　72

5.2.2　乘積型極值點偏移　73

5.2.3　加強不等式　74

5.2.4　拐點偏移　75

5.3　構造函數逼近原函數76

5.3.1　極值點偏移的新方法76

5.3.2　零點差問題的處理策略78

5.4　課後練習　82

第　6 講 隱零點問題　84

6.1　隱零點問題的分析　84

6.2　隱零點問題的處理手段　87

6.2.1　消去變量　87

6.2.2　消去參數88

6.3　隱零點問題的推廣　92

6.3.1　兩函數的公切線問題92

6.3.2　朗博 W 函數及其應用　96

6.4　課後練習100

第　7 講 復雜函數問題101

7.1　指數函數與對數函數的 “同構”　101

7.2　指數函數與對數函數結合　104

7.2.1　證明不等式　104

7.2.2　凹凸性反轉的技巧　107

7.2.3　分類討論問題　107

7.3　三角函數與其他函數結合109

7.3.1　借助三角函數的性質109

7.3.2　轉化為其他函數　112

7.4　三次函數的分析　115

7.4.1　三次函數的圖像與單調性　115

7.4.2　與三次函數相關的高考題116

7.5　課後練習　121

第　8 講 函數與數列結合　122

8.1　遞推數列相關問題　122

8.1.1　一階遞推數列的不動點法　122

8.1.2　高階遞推數列的特徵根法　125

8.1.3　函數遞推式　126

8.2　數列求和與不等式128

8.2.1　對數求和相關不等式　129

8.2.2　連乘積相關不等式　131

8.2.3　借助積分放縮　133

8.3　課後練習　135

第　9 講 2024 年高考導數真題解析136

9.1　三次函數問題136

9.2　分類討論問題137

9.3　多變量問題　140

9.4　其他導數問題144

第　10 講 微積分選講　147

10.1　從實數到無窮大　147

10.1.1　實數的定義　147

10.1.2　無窮大的勢　148

10.2　極限的定義149

10.2.1　數列的極限　150

10.2.2　函數的極限151

10.3　微分與積分153

10.3.1　導數與微分　153

10.3.2　定積分與微積分基本定理　154

課後練習參考答案　157

附錄　常用函數的圖像　183