Python 數值分析算法實踐

前言
第1章Python與科學計算基礎1
1.1Python語言概述及開發環境1
1.1.1Python語言概述1
1.1.2Python開發環境2
1.2Python基本語法與數值運算4
1.2.1Python基本數值運算4
1.2.2Python控制流程與開方運算迭代法6
1.2.3Python數據結構.10
1.3Python模塊化設計與面向對象設計11
1.3.1Python函數與遞推計算11
1.3.2Python面向對象的程序設計16
1.4Python面向數組的編程20
1.4.1ndarray對象及矢量化計算20
1.4.2索引與切片25
1.4.3矩陣和向量運算26
1.4.4*單層神經網絡示例28
1.5Python符號計算34
1.5.1SymPy符號表達式的定義與操作35
1.5.2SymPy符號微積分與方程求解38
1.5.3SymPy線性代數41
1.6實驗內容43
1.7本章小結43
1.8參考文獻44
第2章數據插值45
2.1多項式插值46
2.1.1拉格朗日插值46
2.1.2龍格現象51
2.1.3牛頓差商插值與牛頓差分插值53
2.1.4埃爾米特插值58
2.2分段插值60
2.2.1分段線性插值60
2.2.2分段三次埃爾米特插值61
2.3三次樣條插值.65
2.4三次均勻B樣條插值77
2.5二維插值86
2.5.1分片雙線性插值86
2.5.2*二元三點拉格朗日插值91
2.6實驗內容96
2.7本章小結97
2.8參考文獻98
第3章函數逼近與曲線擬合.99
3.1正交多項式逼近100
3.1.1切比雪夫多項式零點插值逼近100
3.1.2切比雪夫級數逼近104
3.1.3勒讓德級數逼近108
3.2最佳逼近多項式111
3.2.1最佳一致逼近多項式111
3.2.2最佳平方多項式逼近117
3.3三角多項式逼近與快速傅里葉變換120
3.3.1三角多項式逼近120
3.3.2快速傅里葉變換124
3.4自適應逼近126
3.4.1自適應分段線性逼近126
3.4.2自適應三次樣條逼近130
3.5曲線擬合的最小二乘法133
3.5.1多項式最小二乘曲線擬合133
3.5.2正交多項式最小二乘擬合138
3.6帕德有理分式逼近141
3.7實驗內容144
3.8本章小結145
3.9參考文獻145
第4章數值積分147
4.1牛頓–科茨積分公式148
4.2復合求積公式150
4.3龍貝格求積公式156
4.4自適應積分方法158
4.5高斯型求積公式161
4.5.1高斯–勒讓德求積公式161
4.5.2高斯–切比雪夫求積公式162
4.5.3高斯–拉蓋爾求積公式164
4.5.4高斯–埃爾米特求積公式165
4.6離散數據積分167
4.6.1平均拋物插值離散數據積分法167
4.6.2*樣條函數插值離散數據積分法169
4.7多重數值積分173
4.7.1自適應復合辛普森多重積分(矩形區域)173
4.7.2高斯–勒讓德法求解多重積分(矩形區域)179
4.7.3一般區域的多重積分182
4.8*一般區間的蒙特卡羅高維數值積分法187
4.9實驗內容195
4.10本章小結196
4.11參考文獻197
第5章數值微分198
5.1有限差分法198
5.1.1中點公式法.198
5.1.2函數形式的三點公式與五點公式法202
5.1.3離散數據形式的三點公式與五點公式法205
5.1.4數值微分的隱式格式208
5.2三次樣條函數數值微分211
5.2.1三次樣條插值離散數據數值微分法211
5.2.2*三次均勻B樣條函數數值微分法.214
5.2.3*自適應三次均勻B樣條函數數值微分法218
5.3理查森外推算法220
5.4二階數值微分224
5.4.1多點公式二階數值微分法224
5.4.2三次樣條插值離散數據二階數值微分法227
5.4.3*三次均勻B樣條函數二階數值微分法228
5.5實驗內容231
5.6本章小結231
5.7參考文獻232
第6章解線性方程組的直接方法233
6.1高斯消元法235
6.2矩陣三角分解法243
6.2.1杜利特爾分解(不選主元)243
6.2.2選主元的三角分解法244
6.3平方根分解法248
6.3.1對稱正定矩陣的LLT分解法249
6.3.2對稱正定矩陣的LDLT分解法249
6.4追趕法253
6.4.1三對角矩陣的高斯消元法254
6.4.2三對角矩陣的杜利特爾分解254
6.4.3三對角矩陣的克勞特分解255
6.5QR分解法259
6.5.1Schmidt正交化法260
6.5.2Householder正交變換法260
6.5.3Givens正交變換法262
6.6實驗內容267
6.7本章小結268
6.8參考文獻269
第7章解線性方程組的迭代法270
7.1雅可比迭代法與高斯–賽德爾迭代法272
7.2超鬆弛迭代法278
7.2.1逐次超鬆弛迭代法278
7.2.2塊迭代法.281
7.3共軛梯度法287
7.3.1最速下降法.288
7.3.2共軛梯度法.291
7.3.3預處理共軛梯度法295
7.4*二維泊松方程邊值問題稀疏矩陣迭代求解300
7.5實驗內容305
7.6本章小結306
7.7參考文獻307
第8章非線性方程求根308
8.1區間分割法309
8.2不動點迭代法和加速迭代法313
8.2.1不動點迭代法313
8.2.2艾特肯加速法314
8.2.3斯特芬森加速法314
8.3牛頓法318
8.3.1牛頓法.318
8.3.2牛頓下山法.320
8.3.3重根情形.320
8.4弦截法與拋物線法325
8.4.1弦截法.326
8.4.2拋物線法.328
8.5*代數方程求根的劈因子法331
8.6*逐次壓縮牛頓法求解代數方程全部零點334
8.7實驗內容337
8.8本章小結338
8.9參考文獻339
第9章非線性方程組的數值解法340
9.1迭代初始值的選擇問題342
9.2不動點迭代法345
9.3牛頓法347
9.3.1牛頓法與牛頓下山法347
9.3.2離散牛頓法.353
9.3.3牛頓–SOR類方法356
9.4*擬牛頓法360
9.4.1秩1校正擬牛頓法361
9.4.2秩2校正擬牛頓法365
9.5*Levenberg-Marquardt方法373
9.5.1高斯–牛頓法373
9.5.2阻尼最小二乘法376
9.5.3全局化LM法379
9.6*同倫延拓法384
9.7實驗內容388
9.8本章小結389
9.9參考文獻390
第10章矩陣特徵值計算391
10.1求矩陣特徵值和特徵向量的迭代法391
10.1.1冪法391
10.1.2反冪法.392
10.1.3瑞利商加速冪法396
10.1.4原點平移反冪法399
10.1.5*收縮法求解矩陣全部特徵值401
10.2求矩陣全部特徵值的正交變換法404
10.2.1Schmidt正交分解QR法404
10.2.2用正交相似變換約化一般矩陣為上海森伯矩陣407
10.2.3上海森伯矩陣QR算法409
10.2.4位移上海森伯矩陣QR算法413
10.3實驗內容416
10.4本章小結417
10.5參考文獻417
第11章常微分方程初邊值問題的數值解法.419
11.1歐拉法420
11.1.1顯式歐拉法.420
11.1.2隱式歐拉法.421
11.1.3梯形公式法.422
11.1.4中點歐拉法.422
11.1.5改進的歐拉法423
11.2龍格–庫塔方法429
11.2.1龍格–庫塔公式430
11.2.2變步長的龍格–庫塔方法433
11.3線性多步法.436
11.3.1五種常見線性多步法437
11.3.2預測–校正方法442
11.4*常微分方程邊值問題的有限差分法448
11.4.1Dirichlet邊值問題448
11.4.2導數邊界值問題452
11.5一階常微分方程組與剛性微分方程456
11.5.1一階常微分方程組456
11.5.2剛性微分方程461
11.6*常微分方程邊值問題的有限元法463
11.6.1Ritz-Galerkin方法464
11.6.2基於分片線性基函數的有限元法467
11.6.3基於三次B樣條基函數的有限元法473
11.7實驗內容479
11.8本章小結481
11.9參考文獻481
第12章偏微分方程數值解法482
12.1雙曲型偏微分方程483
12.1.1一階一維常系數對流方程483
12.1.2一階二維常系數對流方程489
12.1.3一維二階齊次波動方程494
12.1.4一維二階非齊次波動方程497
12.1.5*二維波動方程傅里葉解初探502
12.2拋物型偏微分方程505
12.2.1一維齊次熱傳導方程505
12.2.2一維非齊次熱傳導方程509
12.2.3對流擴散方程516
12.2.4二維熱傳導方程523
12.2.5*二維熱傳導方程傅里葉解初探531
12.3橢圓型偏微分方程535
12.3.1拉普拉斯方程超鬆弛迭代法求解535
12.3.2泊松方程超鬆弛迭代求解538
12.3.3泊松方程三對角塊矩陣求解541
12.3.4*泊松方程的傅里葉解初探546
12.4實驗內容547
12.5本章小結548
12.6參考文獻549
第13章數值優化.550
13.1單變量函數的極值550
13.1.1黃金分割搜索550
13.1.2斐波那契搜索553
13.1.3求函數極值的逼近方法555
13.2Nelder-Mead方法和Powell方法561
13.2.1Nelder-Mead方法.561
13.2.2Powell方法565
13.3梯度法和牛頓法571
13.3.1梯度法.571
13.3.2牛頓法.574
13.4*擬牛頓法579
13.4.1DFP算法.579
13.4.2BFGS算法582
13.5*現代優化算法585
13.5.1模擬退火算法585
13.5.2遺傳算法.590
13.5.3蟻群算法.598
13.6實驗內容603
13.7本章小結604
13.8參考文獻605