Applied Numerical Analysis Using MATLAB, 2/e (Hardcover)

Laurene v. Fausett

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商品描述

Description

This text is appropriate for undergraduate courses on numerical methods and numerical analysis found in engineering, mathematics & computer science departments.

 

Each chapter uses introductory problems from specific applications. These easy-to-understand problems clarify for the reader the need for a particular mathematical technique. Numerical techniques are explained with an emphasis on why they work.

 

Table of Contents

Preface

 

1 Foundations 1

1.1 Introductory Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Useful Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Results from Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Results from Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 A Little Information about Computers . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Some Basic Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 Getting Better Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.1 Command Window Computations . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.2 M-Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.3 Programming in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.4 Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

 

2 Functions of One Variable 47

2.1 Bisection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2 Secant-Type Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Regula Falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.2 Secant Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Muller’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5 Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.1 Golden-Section Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5.2 Brent’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.6 Beyond the Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.6.1 Using MATLAB’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.6.2 Laguerre’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.6.3 Zeros of a Nonlinear Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

 

3 Solving Linear Systems: Direct Methods 95

3.1 Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.1.1 Basic Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.1.2 Row Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2 Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.2.1 Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3 Tridiagonal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.4 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.4.1 MATLAB’s Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.4.2 Condition of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.4.3 Iterative Refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

 

4 LU and QR Factorization 135

4.1 LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.1.1 Using Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.1.2 Direct LU Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2 Matrix Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.2.1 Householder Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.2.2 Givens Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.3 QR Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3.1 Using Householder Transformations . . . . . . . . . . . . . . 164

4.3.2 Using Givens Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Beyond the Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.4.1 LU Factorization with Implicit Row Pivoting . . . . . . . . . 168

4.4.2 Efficient Conversion to Hessenberg Form . . . . . . . . . . . . 170

4.4.3 Using MATLAB’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

 

5 Eigenvalues and Eigenvectors 179

5.1 Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.1.1 Basic Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.1.2 Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.1.3 Shifted Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.1.4 Accelerating Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.2 Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.2.1 General Inverse Power Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5.3 QR Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.3.1 Basic QR Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.3.2 Better QR Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.3.3 Finding Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.3.4 Accelerating Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.4 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.4.1 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.4.2 MATLAB’s Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

 

6 Solving Linear Systems: Iterative Methods 213

6.1 Jacobi Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.2 Gauss-Seidel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.3 Successive Over-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.4 Beyond the Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4.1 MATLAB’s Built-In Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.4.2 Conjugate Gradient Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.4.3 GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.4.4 Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

 

7 Nonlinear Functions of Several Variables 251

7.1 Nonlinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.1.1 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

7.1.2 Secant Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.1.3 Fixed-Point Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

7.2 Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.2.1 Descent Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.2.2 Quasi-Newton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.3 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.3.1 Levenberg-Marquardt Method . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.3.2 Nelder-Mead Simplex Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.4 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

 

8 Interpolation 275

8.1 Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.1.1 Lagrange Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.1.2 Newton Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.1.3 Difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8.2 Hermite Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

8.3 Piecewise Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

8.3.1 Piecewise Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8.3.2 Piecewise Quadratic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 301

8.3.3 Piecewise Cubic Hermite Interpolation . . . . . . . . . . . . . 304

8.3.4 Cubic Spline Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

8.4 Beyond the Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.4.1 Rational-Function Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.4.2 Using MATLAB’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

 

9 Approximation 333

9.1 Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

9.1.1 Approximation by a Straight Line . . . . . . . . . . . . . . . 336

9.1.2 Approximation by a Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

9.1.3 General Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . 346

9.1.4 Approximation for Other Functional Forms . . . . . . . . . . 348

9.2 Continuous Least-Squares Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 350

9.2.1 Approximation Using Powers of x . . . . . . . . . . . . . . . 350

9.2.2 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

9.2.3 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

9.2.4 Chebyshev Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

9.3 Function Approximation at a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

9.3.1 Pad´e Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

9.3.2 Taylor Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

9.4 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

9.4.1 Bezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

9.4.2 Using MATLAB’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

9.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

 

10 Fourier Methods 373

10.1 Fourier Approximation and Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . 376

10.1.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

10.1.2 Data on Other Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

10.2 Radix-2 Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

10.2.1 Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

10.2.2 Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

10.2.3 Matrix Form of FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

10.2.4 Algebraic Form of FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

10.3 Mixed-Radix FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

10.4 Using MATLAB’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

10.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

 

11 Numerical Differentiation and Integration 405

11.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

11.1.1 First Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

11.1.2 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

11.1.3 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

11.1.4 Richardson Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

11.2 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

11.2.1 Trapezoid Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

11.2.2 Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

11.2.3 Newton-Cotes Open Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

11.2.4 Extrapolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

11.3 Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

11.3.1 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

11.3.2 Other Gauss-Type Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

11.4 MATLAB’s Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

11.4.1 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

11.4.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

11.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

 

12 Ordinary Differential Equations: Fundamentals 445

12.1 Euler’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

12.1.1 Geometric Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

12.1.2 Approximating the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

12.1.3 Approximating the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

12.1.4 Using Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

12.2 Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

12.2.1 Second-Order Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 452

12.2.2 Third-Order Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 457

12.2.3 Classic Runge-Kutta Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

12.2.4 Fourth-Order Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . 462

12.2.5 Fifth-Order Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . 464

12.2.6 Runge-Kutta-Fehlberg Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

12.3 Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

12.3.1 Adams-Bashforth Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

12.3.2 Adams-Moulton Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

12.3.3 Adams Predictor-Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . 480

12.3.4 Other Predictor-Corrector Methods . . . . . . . . . . . . . . 485

12.4 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

12.4.1 MATLAB’s Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

12.4.2 Consistency and Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

12.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

 

13 ODE: Systems, Stiffness, Stability 499

13.1 Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

13.1.1 Systems of Two ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

13.1.2 Euler’s Method for Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

13.1.3 Runge-Kutta Methods for Systems . . . . . . . . . . . . . . . 512

13.1.4 Multistep Methods for Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

13.1.5 Second-Order ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

13.2 Stiff ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

13.2.1 BDF Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

13.2.2 Implicit Runge-Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

13.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

13.3.1 A-Stable and Stiffly Stable Methods . . . . . . . . . . . . . . 532

13.3.2 Stability in the Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

13.4 Further Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

13.4.1 MATLAB’s Methods for Stiff ODE . . . . . . . . . . . . . . . 536

13.4.2 Extrapolation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

13.4.3 Rosenbrock Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

13.4.4 Multivalue Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

13.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

 

14 ODE: Boundary-Value Problems 561

14.1 Shooting Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

14.1.1 Linear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

14.1.2 Nonlinear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

14.2 Finite-Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

14.2.1 Linear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

14.2.2 Nonlinear ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

14.3 Function Space Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

14.3.1 Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

14.3.2 Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

14.4 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

 

15 Partial Differential Equations 593

15.1 Heat Equation: Parabolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

15.1.1 Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

15.1.2 Implicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

15.1.3 Crank-Nicolson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

15.1.4 Insulated Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

15.2 Wave Equation: Hyperbolic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

15.2.1 Explicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

15.2.2 Implicit Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

15.3 Poisson Equation: Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

15.4 Finite-Element Method for Elliptic PDE . . . . . . . . . . . . . . . . 622

15.4.1 Defining the Subregions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

15.4.2 Defining the Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

15.4.3 Computing the Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

15.4.4 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

15.5 Chapter Wrap-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

Bibliography 643

 

Answers 653

 

Index 667

商品描述(中文翻譯)

描述

這本書適合工程、數學和計算機科學系的本科課程,涵蓋數值方法和數值分析。

每一章都使用特定應用領域的入門問題。這些易於理解的問題幫助讀者理解特定數學技巧的必要性。數值技巧的解釋強調它們的工作原理。

目錄

前言

1 基礎
1.1 入門示例
1.1.1 非線性方程
1.1.2 線性系統
1.1.3 數值積分
1.2 有用的背景知識
1.2.1 微積分結果
1.2.2 線性代數結果
1.2.3 關於計算機的一些基本信息
1.3 一些基本問題
1.3.1 誤差
1.3.2 收斂性
1.3.3 獲得更好的結果
1.4 使用MATLAB
1.4.1 命令窗口計算
1.4.2 M文件
1.4.3 MATLAB編程
1.4.4 矩陣乘法
1.5 章節總結

2 一變量函數
2.1 二分法