矩陣力量 (線性代數全彩圖解 + 微課 + Python 編程)

薑偉生

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商品描述

數據科學和機器學習已經深度融合到我們生活的方方面面,而數學正是開啟未來大門的鑰匙。不是所 有人生來都握有一副好牌,但是掌握“數學 + 編程 + 機器學習”絕對是**。這一次,學習數學不再是為了考試、分數、升學,而是投資時間、自我實現、面向未來。為了讓大家學數學、用數學,甚至愛上數學, 在創作這套書時,作者盡量剋服傳統數學教材的各種弊端,讓大家學習時有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。 鳶尾花書有三大板塊——編程、數學、實踐。數據科學、機器學習的各種算法離不開數學,本冊《矩陣力量》是“數學”板塊的第 2 本,主要介紹常用線性代數工具。任何數學工具想要從一元推廣到多元,比如多元微積分、多元統計,都繞不開線性代數。 《矩陣力量:線性代數全彩圖解 + 微課 + Python編程》共 25 章內容,可以歸納為 7 大板塊:向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、數據。《矩陣力量:線性代數全彩圖解 + 微課 + Python編程》在講解線性代數工具時,會穿插介紹其在數據科學和機器學習領域的應用場景,讓大家學以致用。《矩陣力量:線性代數全彩圖解 + 微課 + Python編程》讀者群包括所有在工作中應用數學的朋友,尤其適用於初級程序員進階,大學本科數學開竅,高級數據分析師,人工智能開發者。

目錄大綱

 

 

 

 

緒論 1

 

第1章 不止向量 7

1.1 有數據的地方,必有矩陣 8

1.2 有矩陣的地方,更有向量 10

1.3 有向量的地方,就有幾何 12

1.4 有幾何的地方,皆有空間 17

1.5 有數據的地方,定有統計 20

 

第2章 向量運算 23

2.1 向量:多面手 25

2.2 行向量、列向量 27

2.3 向量長度:模,歐氏距離,L2範數 31

2.4 加減法:對應位置元素分別相加減 35

2.5 標量乘法:向量縮放 36

2.6 向量內積:結果為標量 37

2.7 向量夾角:反餘弦 43

2.8 餘弦相似度和餘弦距離 45

2.9 向量積:結果為向量 47

2.10 逐項積:對應元素分別相乘 50

2.11 張量積:張起網格面 51

 

第3章 向量範數 57

3.1 Lp範數:L2範數的推廣 58

3.2 Lp範數和超橢圓的聯系 61

3.3 L1範數:旋轉正方形 64

3.4 L2範數:正圓 66

3.5 L∞範數:正方形 69

3.6 再談距離度量 71

 

第4章 矩陣 77

4.1 矩陣:一個不平凡的表格 79

4.2 矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途 81

4.3 基本運算:加減和標量乘法 85

4.4 廣播原則 86

4.5 矩陣乘法:線性代數的運算核心 88

4.6 兩個視角解剖矩陣乘法 90

4.7 轉置:繞主對角線鏡像 92

4.8 矩陣逆:“相當於”除法運算 94

4.9 跡:主對角元素之和 95

4.10 逐項積:對應元素相乘 97

4.11 行列式:將矩陣映射到標量值 98

 

第5章 矩陣乘法 105

5.1 矩陣乘法:形態豐富多樣 107

5.2 向量和向量 107

5.3 再聊全1列向量 112

5.4 矩陣乘向量:線性方程組 116

5.5 向量乘矩陣乘向量:二次型 120

5.6 方陣乘方陣:矩陣分解 123

5.7 對角陣:批量縮放 124

5.8 置換矩陣:調換元素順序 127

5.9 矩陣乘向量:映射到一維 128

5.10 矩陣乘矩陣:映射到多維 130

5.11 長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積 133

5.12 愛因斯坦求和約定 136

5.13 矩陣乘法的幾個雷區 138

 

第6章 分塊矩陣 143

6.1 分塊矩陣:橫平豎直切豆腐 145

6.2 矩陣乘法第一視角:標量積展開 149

6.3 矩陣乘法第二視角:外積展開 150

6.4 矩陣乘法更多視角:分塊多樣化 154

6.5 分塊矩陣的逆 160

6.6 克羅內克積:矩陣張量積 160

 

第7章 向量空間 165

7.1 向量空間:從直角坐標系說起 166

7.2 給向量空間塗顏色:RGB色卡 178

7.3 張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色 179

7.4 線性無關:紅色和綠色,調不出青色 183

7.5 非正交基底:青色、品紅、黃色 184

7.6 基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色 187

 

第8章 幾何變換 189

8.1 線性變換:線性空間到自身的線性映射 191

8.2 平移:仿射變換,原點變動 195

8.3 縮放:對角陣 196

8.4 旋轉:行列式值為1 200

8.5 鏡像:行列式值為負 205

8.6 投影:降維操作 207

8.7 再談行列式值:幾何視角 208

 

第9章 正交投影 215

9.1 標量投影:結果為標量 217

9.2 向量投影:結果為向量 218

9.3 正交矩陣:一個規範正交基 222

9.4 規範正交基性質 226

9.5 再談鏡像:從投影視角 229

9.6 格拉姆-施密特正交化 231

9.7 投影視角看回歸 233

 

第10章 數據投影 241

10.1 從一個矩陣乘法運算說起 242

10.2 二次投影 + 層層疊加 245

10.3 二特徵數據投影:標準正交基 249

10.4 二特徵數據投影:規範正交基 254

10.5 四特徵數據投影:標準正交基 259

10.6 四特徵數據投影:規範正交基 263

10.7 數據正交化 269

 

第11章 矩陣分解 277

11.1 矩陣分解:類似因式分解 278

11.2 LU分解:上下三角 279

11.3 Cholesky分解:適用於正定矩陣 280

11.4 QR分解:正交化 282

11.5 特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵 286

11.6 奇異值分解:適用於任何實數矩陣 290

 

 

第12章 Cholesky分解 295

 

12.1 Cholesky分解 296

12.2 正定矩陣才可以進行Cholesky分解 297

12.3 幾何角度:開合 299

12.4 幾何變換:縮放 → 開合 302

12.5 推廣到三維空間 305

12.6 從格拉姆矩陣到相似度矩陣 309

 

第13章 特徵值分解 313

 

13.1 幾何角度看特徵值分解 315

13.2 旋轉 → 縮放 → 旋轉 317

13.3 再談行列式值和線性變換 320

13.4 對角化、譜分解 323

13.5 聊聊特徵值 328

13.6 特徵值分解中的復數現象 330

 

第14章 深入特徵值分解 333

 

14.1 方陣開方 334

14.2 矩陣指數:冪級數的推廣 335

14.3 斐波那契數列:求通項式 337

14.4 馬爾科夫過程的平穩狀態 339

14.5 瑞 利商 342

14.6   再談橢圓:特徵值分解 346

 

第15章 奇異值分解 353

15.1 幾何視角:旋轉 → 縮放 → 旋轉 355

15.2 不同類型SVD分解 359

15.3 左奇異向量矩陣U 360

15.4 右奇異向量矩陣V 363

15.5 兩個視角:投影和數據疊加 365

 

第16章 深入奇異值分解 369

16.1 完全型:U為方陣 371

16.2 經濟型:S去掉零矩陣,變方陣 372

16.3 緊湊型:非滿秩 373

16.4 截斷型:近似 374

16.5 數據還原:層層疊加 375

16.6 估計與誤差:截斷型SVD 379

16.7 正交投影:數據正交化 382

 

 

第17章 多元函數微分 387

17.1 偏導:特定方向的變化率 388

17.2 梯度向量:上山方向 392

17.3 法向量:垂直於切平面 396

17.4 方向性微分:函數任意方向的變化率 398

17.5 泰勒展開:一元到多元 402

 

第18章 拉格朗日乘子法 407

18.1 回顧優化問題 408

18.2 等式約束條件 410

18.3 線性等式約束 414

18.4 非線性等式約束 415

18.5 不等式約束 417

18.6 再談特徵值分解:優化視角 420

18.7 再談SVD:優化視角 423

18.8 矩陣範數:矩陣 → 標量,矩陣“大小” 426

18.9 再談數據正交投影:優化視角 428

 

第19章 直線到超平面 437

19.1 切向量:可以用來定義直線 438

19.2 法向量:定義直線、平面、超平面 441

19.3 超平面:一維直線和二維平面的推廣 443

19.4 平面與梯度向量 446

19.5 中垂線:用向量求解析式 451

19.6 用向量計算距離 453

 

第20章 再談圓錐曲線 457

20.1 無處不在的圓錐曲線 459

20.2 正圓:從單位圓到任意正圓 460

20.3 單位圓到旋轉橢圓:縮放 → 旋轉 → 平移 463

20.4 多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離 468

20.5 從單位雙曲線到旋轉雙曲線 474

20.6 切線:構造函數,求梯度向量 476

20.7 法線:法向量垂直於切向量 479

第21章 曲面和正定性 481

21.1 正 定性 483

21.2 幾何視角看正定性 485

21.3 開口朝上拋物面:正定 486

 

 

第22章 數據與統計 501

22.1 統計 + 線性代數:以鳶尾花數據為例 502

22.2 均值:線性代數視角 503

22.3 質心:均值排列成向量 505

22.4 中心化:平移 508

22.5 分類數據:加標簽 510

22.6 方差:均值向量沒有解釋的部分 512

22.7 協方差和相關性系數 514

22.8 協方差矩陣和相關性系數矩陣 517

 

第23章 數據空間 523

23.1 從數據矩陣X說起 524

23.2 向量空間:從SVD分解角度理解 527

23.3 緊湊型SVD分解:剔除零空間 529

23.4 幾何視角說空間 532

23.5 格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體 537

23.6 標準差向量:以數據質心為起點 540

23.7 白話說空間:以鳶尾花數據為例 543

 

第24章 數據分解 549

24.1 為什麽要分解矩陣? 550

24.2 QR分解:獲得正交系 555

24.3 Cholesky分解:找到列向量的坐標 557

24.4 特徵值分解:獲得行空間和零空間 559

24.5 SVD分解:獲得四個空間 562

 

第25章 數據應用 567

25.1 從線性代數到機器學習 568

25.2 從隨機變量的線性變換說起 572

25.3 單方向映射 574

25.4 線性回歸 578

25.5 多方向映射 582

25.6 主成分分析 584